一元二次方程培优综合练习
1、关于 x 的代数式 x2 mx m 8 是一个完全平方式．求 m 的值．
2、 Rt△ABC 中， C=90°， a,b 是方程 x2 5x 3 0 的两个根，求
Rt△ABC
的斜边上的
中线的长．
3、 已知 △ABC 中， AB=AC= m ,BC= n ．
求证：关于 x 的方程
4x2 8mx n
2
0
一定有两个不相等的实数根．
4、 已知 a、b、c 是 △ABC 的三边长，且关于
2 2
有两个
x 的方程
b x 1
2ax c( x 1) 0
相等的实数根．
求证： △ABC 是直角三角形．
1
5、 已知 a、b、c 是 △ABC 的三边长，方程
a2 b2 c2 x2 2 a b c x 3
0
有两个相
等的实数根．
求证： △ABC 是正三角形．
、已知 a、b、c 是 △ABC 的三边长，
a、b
是方程
x
2
(c 4) x 4c 8 0
的两根．
6
①判断 △ABC 的形状．
②若
5a
3c ，求 a、 b、c
的长．
2
7、梯形
ABCD 中， AD ∥ BC ， AB=AD ， 8s梯形 ABCD =13s△ ABC ，梯形的高
5 3
AE =
，且
2
1 + 1
=
13． AD BC
40
①求 B 的度数．
②设 M 为对角线 AC 上的一点， DM 的延长线与 BC 相交于一点
F，当 s△ ABC
=
25
3
时，
8
求CF和DF的长．
3
8、 已知关于 x 的方程 x2 2 a 1 x b 2 2 a 2014 b3 的值．
0
有两个相等的实数根．求
2 2
1 1
的值．
、 已知
a b
，且满足 a 3a 1 0 ， b 3b 1 0 ．求
9
a2 1 b
2
1
10、已知关于 x 的一元二次方程
m 1 x2 2mx m 3
0
有两个不相等的实数根，且这两
个实数根不互为相反数．
①求 m 的取值范围．
②当 m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为 x1 ,x2 ，求
3x12 1
4x2
的值．
11、已知关于 x 的方程
mx2 2m 1 x m 2 0( m
0)
．
①求证：这个方程有两个不相等的实数根．
②如果这个方程的两个实数根分别是 x1 ,x2 ，且 x1 3 x2 3 5m ，求 m 的值．
4
12、已知实数 x、y、z满足 x y 2 ， xy z2 1 ，求
x y
z
的值．
13、已知 x1 , x2 是方程
x
2
(3m 5) x 6m2 0 的两个实数根，且 x
1
=
3
，求 m 的值．
x
2
2
14、已知关于 x 的一元二次方程 x2 5x 3 0 的两根为 、 ．
①求 2 3( 2 7 6)的值．
②求 的值．
15、已知关于 x 的方程
x
2
3x m
0 的两个实数根的平方和是
11．
求证：关于 x 的方程 k 3 x2 kmx m2 6m 4 0 有两个不相等的实数根．
5
16、已知关于 x 的方程 x2 2 m 2 x m2 0 ．问：是否存在实数
m 使方程的两根的平方
和等于 56，若存在，求出 m ；若不存在，请说明理由．
、已知关于 x 的一元二次方程
x
2
(5k
1)x k
2
2 0
，是否存在负数
k
，使方程的两实
17
数根的倒数和等于
4？如果存在，请求出
k
；如果不存在，请说明理由．
18、已知关于 x 的一元二次方程 m2 x2 2m 3 x 1 0 的两实数根的和为— 1，而关于 x 的
另一个一元二次方程
x
2
2(a m) x 2a m2 6m 4
0 有大于 0
而小于 5 的实数根，求
整数 a 的值．
19、关于 x 的一元二次方程 4m2
x
2
(8m
1)x 4 0
有两个不相等的实数根．
①若这个方程的两个实数根的倒数和不小于
-2，求 m 的取值范围．
② m 为何值时，这个方程的两根之比是 1:4．
6
20、 m 为何值时，一元二次方程 2(m 3) x2 4mx 3m 6 0 的两根为
、
，且满足
= ．
21、已知关于 x 的一元二次方程
x2 (m 2) x m
2
0
．
4
①求证：无论 m 取什么值，方程总有两个不相等的实数根．
②若这个方程的两个实数根是
x1, x2 ，且满足 x1 x2 2 ，求 m 的值及 x1 和 x2
．
22、已知关于 x 的方程
x
2
m
2
3 x 1 (m2 2)
0
．
2
①无论 m 取何值，方程总有两正根．
②若这个方程的两实数根是
x1 , x2 ，且满足 x
1
2 x2 2
x1 x
2
17
，求 m 的值．
2
7
23、已知关于 x 的一元二次方程 x2 12x k 0 的两根之差为 2，求这个方程的两根及 k 的值．
24
x 2mx 1 m 4 0
（ m 是实数）．
、已知关于 x 的一元二次方程
2 2
2
①求证：方程必有两个不相等的实数根．
②设 , 为方程 x2 2mx 1 m2 4 0 的两根，且 ，若
2,
2
是方程
2
x
2
qx
2 0
的两根，求实数
q
的值．
25、已知关于 x 的一元二次方程
x
2
2(k 2) x k
2
4 0
有两个实数根，且这两个实数根
的平方和比这两个根的积大
21，求
k
的值．
8