自主招生考试常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。

证明：构造一元二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =-+-++-，则222222212n 1122n 12n ()()2()()0n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++-+++++++≥等价于判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。

2．四个平均的关系： 平方平均na a a Q n 2n2221+++=，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均nnn a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。

满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。

调和平均不常用。

3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和） （逆序和） 。

其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。

4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++ 21212211。

附：切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。

5．关于凸函数的琴生不等式：（1）函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=lg sin ,=log cos 2y x y x y x y x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上， 常见的（下）凸函数，[)2310+=,=,=,=n n y x y x y x y x∞，上， ③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则()f x 为上凸函数。

二、凸函数有琴生不等式性质：若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ ；若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≥+++ 。

附：应用21)(xx f =，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 221322221)(111n n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。

而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的222212221)111(nn a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。

加权形式：[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有常用不等式：121212121212++++++(t>1);++++++(0<t<1);+++tt tt nn tt ttnn nn nx x x x x x n n x x x x x x nn x x x x x x n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎛⎫≥ ⎪⎝⎭例1. 解方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例2.2123BC CA AB ,(++)++2S123P d ,d ,d S a a a a b c d d d ∆∆≥为ABC 内一点，它到三边、、的距离分别为为ABC 的面积求证：例3. 有小于1的正数12123331122111,,,,+++=1+++>4---n n n nx x x xx x x x x x x x 且，求证： 例4. 设222111,,c ++=1,+++++a b a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为正数，且求的最小值例5.已知111>0,>0,+++<++2+n a b a b a ba b求证：例6. 求证：22,,++3(+y-1)x y R x y xy x ∀∈≥对恒成立。

例7证明：方程133334-2=1(y 0)-2<x x y x,y y y≠的任一组整数解（）都满足例8.求证：31+<3n例9.已知正数列12,,,n a a a ，对大于1的n ，有123+++=,2n a a a n 12+1=,2n n a a a 1211n a a a 试证：，，，中至少有个小于.例10. 若a b c R +∈，，，求a b cb c c a a b+++++的最小值例11. 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：122nn i n a a a a R a n++++∈≥，则．例12 a b c +∈R ，，，且a + b + c = 39．例13.()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥．一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．二、琴生不等式：若()f x 是区间 (a ，b ) 上的凸函数，则对任意的点x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )，有12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++取“=”条件：x 1 = x 2 = … = x n 注：更一般的情形：设()f x 是定义在区间 (a ，b ) 上的函数，如果对于(a ，b )上任意两点x 1，x 2，有1212()()()pf x pf x f px qx +≥+（其中1p q R p q +∈+=，，），则称()f x 是(a ，b ) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：设12121n n q q q R q q q +∈+++=，，，，且，若()f x 是区间 (a ，b ) 上的下凸函数，则对任意的x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )有11221122()()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x +++≤+++．取“=”条件：12n x x x ===说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2h x x π=在[0，上是下凸函数证明：(1) 对12[0)x x π∀∈，，121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222f x f x x x x x x x x xx x f ++-++=+=≤=(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+1212lg lg lg 22x x x x++= ()()g x g x x x++(3) 当1202x x π≤<，时1212121212121212sin sin sin()2sin()tan tan cos cos cos cos cos()cos()x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++- 1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥=++ （∵sin tan 1cos 2ααα=+）即：1212()()()22h x h x x xh ++≥．例2 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：122nn i n a a a a R a n++++∈≥，则．证：∵i a R +∈设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式： 12121(lg lg lg )lg nn a a a a a a nn++++++≤即122nn a a a a n+++≤例3 a bc +∈R ，，，且a + b + c = 39≤．证明：设()f x =()(0)f x ∞为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333a b cf a f b f c f f ++++≤==∴ ()()()9f a f b f c ++≤．例4 ()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥． 求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．证明：由题：对12()x x a b ∀∈，，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥，两边取常对： 则有1212lg ()lg ()2lg ()2x x f x f x f ++≥ 即1212lg ()lg ()lg ()22f x f x x xf ++≥于是：令()lg ()g x f x =，则()g x 为(a ，b ) 上的凸函数 由琴生不等式：对12()n x x x a b ∈，，，，有 1212lg ()lg ()lg ()lg ()n nf x f x f x x x x f nn ++++++≥即12()()()[()]n nx x x f x f x f x f +++≥．。