第一部分奠基篇
不等关系
一、要点考点
1. ⑴平均数不等式（平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数）：
（a、b为正数，当a = b时取等号）
⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
①
②
（只需，
时取等号）；
（时取等号）
⑶绝对值不等式：
⑷柯西不等式：设则
等号成立当且仅当.（约定时，）例如：.
⑸常用不等式的放缩法：①
②
2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：
①
②
类似于
③
二、技能方法
● 配方
● 比较
● 观察
● 等价转化
● 函数单调性
● 基本不等式
● 放缩
● 构造
● 数学归纳法
三、典型例题
例1、（复旦2008选拔）已知一个三角形的面积为，且它的外接圆半径为1，设
分别是该三角形的三边长，令，，则和的关系是（）
A． B.
C． D. 无法确定
解析：
答案：
例2、（浙大2008自招）已知，试问是否存在正数，使得对于任意正数可使为三边构成三角形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解析：
例3、（复旦2003保送）,,,…,是各不相同的正自然数，，
求证：．
证明：
例4、（复旦2004保送）求证：．
证明：
不等关系
——不等关系（1）【课后作业】
1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足
，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)
(3) (4)中是下凸函数的有
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(3)(4)
D.(1)(4)
2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.
4.（南开大学2008）有3个实根，证明：.
不等关系
——不等关系（1）【课后作业】
1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足
，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)
(3) (4)中是下凸函数的有
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(3)(4)
D.(1)(4)
答案：D
提示：不等关系，表示了函数图像的形态——下凸，即在函数图像上任取两个点，它们的连线段在函数图像上方．
2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
答案：C.
说明：证明不等关系问题时，常常使用反证法，而反证法和四种命题是息息相关的，所以要掌握一定的命题知识，只要这样才能灵活解决数学问题．
3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.
提示：
再利用基本不等式可得．
答案：36.
4.（南开大学2008）有3个实根，证明：. 证明：设三根为，则由韦达定理得
，即
从上式可知，必是三负或两正一负．用不等式的基本性质可排除两正一负的情形．于是，转化为正数后用基本不等式．。