一元二次方程根的判别式与韦达定理
一.一元二次方程根的判别式.
对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0），记Δ=b 2
-4ac 。

则有:Δ＞0⇔方程有两个不等
实数根;Δ=0⇔方程有两个相等实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根。

注意:（1）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。

（2）如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情
况,此时b 2—4ac≥0切勿丢掉等号.(3)根的判别式b 2
—4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

(4）显然，当a 、c 异号时，Δ＞0，方程必有两不等的根，此结论宜熟记于心. 二。

根的判别式有以下应用：
① 不解一元二次方程，判断根的情况。

例1.不解方程,判断下列方程的根的情况： (1) 2x 2
+3x-4=0;（2）2
210x ax a ++-=。

② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例2。

求k 的何值时,关于x 的方程2(k+1）x 2
+4kx+2k-1=0(1）有两个不相等的实数
根;(2）有两个相等的实数根;（3）没有实数根；(4)有一根.
③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根.
例3．求证方程(m 2+1)x 2-2mx+（m 2
+4）=0没有实数根。

三。

韦达定理(一元二次方程根与系数的关系).
若一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为1x 、2x ，则有: 12b x x a +=-
,12c x x a
=. 注意:此定理成立的前提是方程为一元二次方程（a ≠0),且方程有两根（包括相等
的两根,即要满足Δ≥0) 四.韦达定理的应用. ① 求根或参数的值。

例4。

(1）已知方程2
0x px q ++=的两个根为2-和4,求p 、q 的值.
(2)已知方程2
40x x m -+=的一个根是2+,求方程的另一个根及m 的值.
（3）若方程2
50x kx k --+=的一个根是2, 求方程的另一个根及k 的值.
说明：这3个题目均有两种解法,即代根法与韦达定理法，其中(1)(2)用韦达定理
更简单，(3）用代根法更简单。

② 求与两根有关的对称式的值。

例5.设1x 、2x 是方程2
430x x +-=的两根,试求下列各式的值:
（1)12x x +；(2)12x x ;(3）22
12x x +;（4）
12
11
x x +；(5)12(1)(1)x x --;（6）12x x -; （7)3223112122x x x x x x +++；(8） 2112
x x x x +；(9）22
12224x x x ++.
说明（1)这类题目除了利用韦达定理解外,也可以直接求出方程的根代入各式求值，对于
此题这样做显然计算量大.但如果方程的根为全整数时,比如方程替换为2
320x x -+=，则宜选用带人求值的方法。

(2）一般的,对于方程ax 2
+bx+c=0（a≠0）,当0∆≥时,有12x x -
=
==
a
=，此结论及其推导过程必须牢记于心。

③ 分析一元二次方程根的范围（主要指符号）.
例6.已知关于x 的方程2
4(2)10x k x k -++-=.根据下列各条件分别求k 的取值范围.
（1）两根异号；(2)两根均为正数；（3）两根异号，且负根绝对值大。

④构造一元二次方程。

理论依据是：以x 1、x 2为根的一元二次方程是x 2
—(x 1+x 2）x+x 1x 2=0。

例7. 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+错误!.
例8。

解下列方程组：
(1)56x y xy +=⎧⎨=⎩
; (2）
5
6x y xy -=⎧⎨
=⎩； (3) 231
2x y xy -=⎧⎨
=⎩; （4） 2213
5
x y x y ⎧+=⎨
+=⎩.
五。

作业
1．一元二次方程2
(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A ．2k >
B ．2,1k k <≠且
C ．2k <
D ．2,1k k >≠且
2．若12,x x 是方程2
2630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ）
A ．2
B ．2-
C ．12
D ．92
3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程2
2
(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于（ )
A ．3-
B ．5
C ．53-或
D ．53-或
4．若t 是一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式2
4b ac ∆=-和完全平方式
2(2)M at b =+的关系是( )
A ．M ∆=
B ．M ∆>
C ．M ∆<
D ．大小关系不能确定
5．若实数a b ≠，且,a b 满足2
2
850,850a a b b -+=-+=，则代数式11
11
b a a b --+
--的值为( ）
A ．20-
B ．2
C ．220-或
D ．220或
6．如果方程2
()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等,则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2
2870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ． 8．若方程2
2(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．
9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2
0x qx p ++=
的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．
10．已知实数,,a b c 满足2
6,9a b c ab =-=-,则a = _____ ，b = _____ ,c = _____ ．
11．对于二次三项式2
1036x x -+，小明得出如下结论:无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．
12．若0n >,关于x 的方程2
1(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根,求m n
的值．
13．已知关于x 的一元二次方程2
(41)210x m x m +++-=． (1） 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2) 若方程的两根为12,x x ，且满足
121112
x x +=-，求m 的值．
14．已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． （1） k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2）
求k 的
值．
15．已知关于x 的方程2
(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． （1） 求k 的取值范围;
（2） 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在,求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．
16．已知关于x 的方程2
30x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程2
2
(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．
17．若12,x x 是关于x 的方程22
(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； （2） 若
121
2
x x =，求k 的值．
练习答案： 1． B
2． A 3．A 4．A 5．A
6．2,a c b b c +=≠且 7． 3
8． 9或3-
9．1,3p q =-=- 10．3,3,0a b c ===
11．正确
12．4
13．2
1(1)1650 (2)2
m m ∆=+>=- 14．3
(1) (2)22k k ≥
= 15．13
(1)112
k k <≠且
(2） 不存在 16．1m = （1）当3k =时，方程为310x +=,有实根；(2） 当3k ≠时，0∆>也有实
根． 17．(1） 3
14
k k ≥≠且 ; （2) 7k =．。