一元二次方程的解法及韦达定理
一元二次方程的解法及韦达定理
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一、一元二次方程的解法：
例题1：
用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0
【一元二次方程的解法总结】
1、直接法：对于形如—x2=a的方程，我们可以用直接法。

方程的解为x=
推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。

注意点：①二次项的系数为1，且a≥0
②如果a为根式，注意化简。

例1：解方程：5x2=1
例2：解方程：x2=
4
例3：解方程：4x 2+12x+9=12
2、配方法：
对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。

步骤：①把二次项的系数化为1.
两边同时除以a ，可以得到：
X 2+ b a x+ c a
=0 ②配方：
（x+ 2b
a ）2+c- 2()2
b a =0
③移项：
（x+ 2b
a ）2=2
()2b a -c ④用直接法求出方程的解。

X=-2b a
注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要
进一步化简。

例：
解方程：x 2+x=1
3、公式法：
对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。

根据配方法，我们可以得到方程的解为：
X=-2b a
进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：
x1x2
注意点：
①解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

②解题步骤要规范。

例:
解方程：x2+5x+2=0
除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。

4、换元法
对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。

例1：
解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0
例2：
=
1
5、有理化方法：
对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。

例：
=
4
6、主元法：
对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。

例：解方程052422=+-++y x y x
除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗？
二、判别式的运用：
我们知道：方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：
x1x2
其中，我们把：∆=b2-4ac称之为判别式
(1)当∆>0的时候，方程有两个不同的实数根。

(2)当∆=0的时候，方程有两个相同的实数根。

(3)当∆<0的时候，方程没有实数根。

没有实数根与没有根是两个不同的概念。

判别式的运用：
（1）求方程系数的取值范围。

例：已知方程ax2+8x+a=0有两个不同的实数根，求a的取值范围。

（2）求最大值最小值的问题。

例1：求2
236
x y x x +=++的最大值和最小值。

例2：已知a>0,b>0,且a+2b+ab=30,求a、b为何值时，ab取得最大值。

三、韦达定理
对于方程ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的解为：
x 1=
2b a
-+，x 2=
2b a
-
那么就有：x 1+x 2=
b a -
,x 1x 2= c
a .
除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：
（1）|x 1-x 2|=
a
（2）11x +
21x =a b - (3) 11x 21
x =a c
注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。

下面给出公式（1）的推理：
|x
1-x 2===
=
a
韦达定理的应用：
1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。

例题1：
如果关于x的方程：
20a
x a
++=的一个根是1的值。

例题2：已知关于x的方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0的两个根互为倒数，求a的值。

2、构造方程进行计算：
例题1：已知3a2+2a-1=0,3b2+2b-1=0。

求|a-b|的值
例题2：已知a,b,c都是整数，且有a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三个数中的最大数的最小值。

例题3：已知在四边形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且S△AOB=4,S△COD=9,求四边形ABCD面积的最小值。

一元二次方程习题
1、等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-9x+18=0的两个解，求这个三角形的周长。

【举一反三】
例题1：Rt△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，求这个三角形的面积。

例题2：矩形的两边的差为2，对角线的长为4，求矩形的面积。

2、解方程：
（1）x2-2=-2x；
（2）x（x-3）+x-3=0；（3）4x2+12x+9=81．
其中a为方程x2+3x+2=0的一个根．
【举一反三】
例题1：设a,b 分别是方程x 2
+3x+1=0的两个根，求：
(1)a 2+b 2+ab 的值；（2）求a 3+b 3的值
例题2：已知：
5a 2+12a-1=0,b 2-12b-5=0,且：ab ≠1，求：
2255ab ab b
b ++的值。

4、关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，求a的取值范围。

【举一反三】
例题1：已知关于x的方程x2-2（k-3）
x+k2-4k-1=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数
y＝
例题2：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）
没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
例题3：已知a>0,b>0，且:a+2b+ab=30,求ab的最大值。

5、若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值。

6、关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x
=-2，
1
x
=1，（a，m，b均为常数，a≠0），解方程方2
程a（x+m+2）2+b=0。

7、设方程（x-a）（x-b）-x=0的两根是c、d，
解方程（x-c）（x-d）+x=0。

8、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解题方案：
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，（Ⅰ）用含x的解析式表示：
第一轮后共有人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有人患了流感；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为；
（Ⅲ）解这个方程，得；
（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了个人．。