格林公式的讨论及其应用目录一、引言 (2)二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的应用 (3)（一）牛顿-莱布尼兹公式简介 (3)（二）牛顿-莱布尼兹公式的物理意义 (3)（三）牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用 (3)三、格林（Green）公式的应用 (4)（一）格林公式的简介 (4)（二）格林公式的物理原型 (4)1、物理原型 (4)2、计算方法 (4)（三）格林公式在生活中的应用 (5)1.曲线积分计算平面区域面积 (5)2.GPS面积测量仪的数学原理 (6)四、高斯（Gauss）公式的应用 (7)（一）高斯公式的简介 (7)（二）保守场 (8)（三）高斯公式在电场中的运用 (8)（四）高斯定理在万有引力场中的应用 (11)五、斯托克斯（Stokes）公式的应用 (12)（一）斯托克斯公式简介 (12)（二）Stokes公式中P、Q、R的物理意义 (13)（四）旋度与环流量 (14)（五）旋度的应用 (14)六、结语 (16)参考文献............................................................................................................................... 错误!未定义书签。
致谢................................................................................................................................. 错误!未定义书签。
摘要牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是积分学中的几个非常重要的公式，分别建立了原函数与定积分、曲线积分与二重积分、曲线积分与三重积分、曲线积分和曲面积分之间的联系，它们除了在数学上用来计算多元函数的积分有很大用处之外，在其他的领域也有很多重要的应用。
就这四大公式与物理学的相关内容展开，结合场论的相关内容，介绍它们在各个方面的应用，帮助人们更好地理解并且更准确地应用牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。
关键词：牛顿-莱布尼兹公式；格林公式；高斯公式；斯托克斯公式；应用Discussion and application of Green's formulaAbstractNewton Leibniz formula, green formula, Gauss formula and Stokes formula are several very important formulas in integral science. The relations between the original function and the definite integral, the curve integral and the double integral, the curve integral and the triple integral, the curve integral and the curved area integral are established respectively. They are not only used to calculate mathematically The integral of multivariate function is very useful, but also has many important applications in other fields.Based on the four formulas and Physics related content, combined with the field theory related content, this paper introduces their application in various aspects, to help people better understand and more accurately apply Newton Leibniz formula, green formula, Gauss formula and Stokes formula.Keywords: Newton Leibniz formula; Green formula; Gauss formula; Stokes formula; application一、引言牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式格林公式都反映了内部积分与边界积分之间的关系。
牛顿-莱布尼兹公式也被称为微积分基本公式，表达了原函数与定积分之间的关系，在一维区域内应用。
推广到曲线、曲面和空间区域，就是我们所说的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。
格林公式作为多元函数积分学的基本公式之一，说明了平面区域上的二重积分可以通过其边界曲线上的曲线积分来表示。
而高斯公式、斯托克斯公式与格林公式有着密切的联系，同样作为多元函数积分学的基本公式，这两个公式则更进一步分别揭示了曲线积分与三重积分、曲线积分与曲面积分之间的关系。
这四个公式在数学上应用最为广泛，用于计算积分，但它们在其它的领域也有很多重要的应用。
本文主要从这四个公式与物理学之间的联系作为出发点，结合旋度等场论方面相关的内容，展开介绍它们在其它方面的应用，包括在生活实践上的应用，来帮助人们更深刻地理解、应用公式，基于这些公式作出更多开创性的工作，为人类谋求更好的发展。
二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式的应用（一）牛顿-莱布尼兹公式简介在我们求解问题的实际计算过程中，用定义来计算定积分是比较困难的，关于这个问题，牛顿-莱布尼兹公式提供了更加简便的方法，该公式也揭示了被积函数的原函数与定积分之间的关系。
定理：若函数()x f 在[]b a ,上连续，且存在原函数()x F ，则()x f 在[]b a ,上可积，则()()()⎰-=ba a Fb F dx x f （1） 公式（1）即为牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式。
（二）牛顿-莱布尼兹公式的物理意义牛顿-莱布尼兹公式作为微积分基本公式，从微分和积分的角度出发：微分是一个瞬时的“点量”，表现一种趋势；积分是一个时间延展的“积累量”，表现点量累积的效果。
按照这种作用和效果，公式的物理意义是显而易见的：导数的积累效果导致了原函数的差值。
（三）牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用例1 老王开车正常行驶在道路上，驾驶速度为每小时72公里，突然有个人在前方55米左右处突然出现，准备横穿马路，为了避免撞到行人，老王需要减速停车，假设汽车以等加速度2/4s m a -=刹车，问老王能否刹车成功进而安全停车（忽略反应的时间）？解：先求从刹车开始到停车所用的时间：0=t 时，s m h km v /20/720==刹车后，汽车减速行驶，速度为()t at v t v 4200-=+=由()0=t v 可得：s t 5=所以整个过程汽车所走过的路程为：()m m t t dt t 55502204-2050250<=-=⎰通过比较可以看出老王可以安全停车。
从例题可以看出，牛顿-莱布尼兹公式可以作为解决实际生活中问题的工具，说明数学既来源于生活，也服务于生活。
三、格林（Green ）公式的应用（一）格林公式的简介定理：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 组成，函数()y x P ,，()y x Q ,在D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有： ⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx P Q dxdy y x （2）这里L 为区域D 的边界曲线，取正方向。
公式（2）叫做格林（Green ）公式。
该公式有使用条件：（1）区域D 是没有“洞”的单连通区域；如果是有“洞”的复连通区域，公式右端应该包含D 的全部边界曲线的积分；（2）曲线L 具有正向规定：当人沿边界行走时，区域D 总是位于它的左手边。
（二）格林公式的物理原型1、物理原型在大学教材里，在学习格林公式的这部分内容时，书上都是先给出定理及其证明，然后给出举例和相关应用，初学者在看到格林公式展现的曲线积分与二重积分的关系总是那么赞叹不已，但是这里有一个疑问，对于曲线积分和二重积分有这种数量的关系这一想法，他们是怎么想到的呢？以下是对于这方面的介绍：流体物理学里，在流体中，质点间可以拥有不同的速度，但是对于每个质点，它的速度仅仅与位置有关，不会随时间变化而变化，这样的流动称为“平面稳定流动”。
在该流动中,场内各点的速度为j y x Q i y x P V ),(),(+=，下面来计算在单位时间内，流经曲线C 的流体体积( 实际上是流过以C 为准线、高为l 的柱体的流体体积，简单用面积表示) ，也就是流量密度，这里面的C 是平面上闭合并且无重点(对于曲线)(),(t Y t X ψϕ==,当21t t ≠时，点))(),((11t t ψϕ与()()()22t t ψϕ，总是相异的）的光滑曲线。
2、计算方法（1）流体面积μ计算方法一在C 上任取一小段弧线S ∆,在t ∆时间内流过S ∆的流体面积与平行四边形的面积相似,一边的长度是S ∆，另一相邻边的长度是流程t V ∆⋅ 。
因此面积为: []t n V s n V t V s ∆⋅⋅⋅∆=⋅⋅∆⋅∆)()cos( (3) n 是C 的单位法向量，单位时间内流体面积为：()s n V ∆⋅⋅ 。
由曲线积分定义有：总的流体面的全长），为（C l ds n V l⎰⋅=0μ()βαcos ,cos =n 设， 则()ds Q P l ⎰+=0cos cos βαμ （4）设l 为点()y x ,处的切线，与x 轴夹角,sin cos τα=τβcos cos -=，所以()⎰⎰-=-=Qdx Pdy ds Q P l 0cos sin ττμ （5）（2）流体面积μ计算方法二计算单位时间的流场中的每一个微元dxdy 散发出的流体的面积:在曲线C 围绕的平面区域内，任意选取其中一个微元dxdy ，单位时间内从左侧(x 轴方向)流入的流体面积近似于dy P ，从右侧流出的流体面积近似于()dy xdx P P '+（xdx P '为偏增量的近似)。
因此这个微元在单位时间内沿着x 方向(净)散发出去的流体面积近似于()xdxdy P Pdy dy xdx P P ''=-+，同理沿着y 方向（净）散发出去的流体面积近似于ydxdy Q '。