若u F (M )，则当M0 时：
(2.7)
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(n M )dSM
1
4
F rM (M 0M)dM
(2.8)
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补：二维空间上的基本积分公式以及调和函数的 基本积分公式
设是 R2中的有界开集， ，u C 2 () C1()，
M
0
)
，lim 0
( 4
)
2
1 ，上式两边令 2
0，
得
u n 1 r 1 r n u d S 2 u (M 0)
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综上所述，设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界 区域，u u( x, y, z) C 2 () C1()，若u 0，则：
u n rM 1 0M rM 1 0M n u dM S 4 0 2 u u ((M M 0 0) )( ((M M M 0 0 0 )))
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从而有：
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(nM )dS
11
ud
4 rM0M
基本积分公式
当u是内的调和函数时，即u 0时，若M0 ，则
u (M 0) 4 1 u (M ) n rM 1 0 M rM 1 0 M u (n M ) dS
上界，即M0
,
s.t .
u( M 0
)
m
max u( M
M
)，下面
将证明，u在内恒为m 从而引出矛盾。
以M0为球心，任意R为半径作球K ，使 得K 。记K SR。
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若SR上有函数值小于m 的点，则在此点的某领域内函 数值均小于m ，由平均值定理，
1
mu(M 0)4a2SRudS m
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记u
1 ()
udS ，
u n
1
()
nudS ，其中
()表
示
的面积，即
u和
u n
分别为
u和
nu在
上的
平均值，则
u n 1 r 1 r n u d S (2 )u ( ) n u
因为lim u 0
u(
1
4
F rM (M 0M)dM
作为 M 0的函数，记
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R (M 0 ) 4 1 u (M ) n r M 1 0 M r M 1 0 M u (n M ) dM S
V(M 0)41F rM (M 0M)dM
因为 1 rM 0 M
是
基
本
解
，
通区域
\
K 中，v
r
1
M0M
0。
K
在复连通区域 \ K中对上述函数u和
v 应用 Green 第二公式，得
\K u 1 r 1 r u d u n 1 r 1 r n u dS(2.5)
其中 1 1 。 r rM0M
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(2 .5 )式 左 u 边 1 1 u d 1 u d
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定理 2.5 调和方程狄利克雷外问题 u 0 (out of ) u f (on )
的解如果存在，必是唯一的。
（2）
证明：
设 u1 ,
u2
都是
(2) 的解，且
lim
r
ui
(
x,
y,
z)
0
，
(i
1,
2)。令v
u1
u2 ，则v
0，v
0 ，lim v r
0。
设 M 0是外的任一点， 以M 0为心，作半径为 R 的球
这显然不可能。所以u在SR上恒为m 。 同理，u在以M 0为球心，任意r,(r R)为半径的球面Sr 上恒为m ，从而在整个K 上恒等于常数m 。 对M1 ，如图作折线与球面，可得 u(M1 ) m 。所以u(M ) m ,(M )。
□
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推论 1 在有界区域 内调和，且在 上为 连续的函数必在边界 上取到其最大值和最小值。
§2 格林公式及其应用
1. 格林(Green)公式 2. 平均值定理 3. 极值原理 4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性
1.格林公式
1) 格林公式的推导
高斯公式： A d A d S (A n )dS
由于 uv uv u v，则由高斯公式可得
格林第一公式： u ( v)d u n v d S u v d
定理 2.1 设u C 2 () C1()，u 0 (in )，则
nudS
0。
证明 格林第二公式中取u为所给调和函数，v 1，
则得

u ndS
0。
□
由此定理可知，诺伊曼内问题
u
u n
0 g
(in ) 有解
(on )
的必要条件为 gdS 0。
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2.平均值定理
定理 2.2（平均值公式） 设 u(M )在某区域 内
推论 2 设u及v 都是内的调和函数，且在 上连续。如果在 的边界 上成立着不等式 u v ， 那么在内上述不等式也成立；并且只有在 u v 时， 在 内才会有等号成立的问题。
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4.第一边值问题解的唯一性和稳定性
定理 2.4 调和方程狄利克雷问题
u 0 (in ) u f (on )
\K r r
r \K
(2.5)式右 边 un 1 r1 r n u dS
K
un 1 r1 r n u dSun 1 r1 r n u dS
注意到在
上，
1 r
1
，n
1 r
r
1 r
1 r2
1 2
\K 1 r u d u n 1 r 1 r n u d S 1 2 u d 1 S n u dS
v 0。（见P73 习题 1）称 v 1 为三维拉普拉斯 rM 0 M
方程的基本解。
设 u u( x, y, z) C 2 () C1() ， M0 ( x0 , y0 , z0 ) 是 内一定点。
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为利用
Green
第二公式，取
充分小，使得以
M
为球心，
0
半径为的球 K 的球面与的边界不相交，则在复连
调和，M0是 中任一点，则对以 M0为中心、a 为半径 完全落在区域 的内部的球面 a ，成立
1
u(M0 ) 4a 2 a udS
(2.11)
证明： 将调和函数基本积分公式应用到a 上有：
u(M0 )
1 4
a
u n
1 r
1 r
nudS
0
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在
a
上
1 r
1 a
，n
1 r
1 a2
格林第二公式：u ( v) v( u )d u n v v n u dS
其中n是 的单位外法向量。
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2)调和函数的积分表达式
考察函数
1
1
v(x, y,z)
rM 0 M
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
容易验证，当 M ( x, y, z) M0 ( x0 , y0 , z0 ) 时，
（1）
的解如果存在，必是唯一的，并且连续依赖于所给的
边界条件 f。 证明： 设u1，u2都是(1)的解，则v u1 u2满足
v 0,v 0，由定理 2.3，v 0。 若 u1 ， u2 分别是问题 (1)当 f f1 和 f f2 的解，且 f1 f2 ，满足由定理 2.3， u1 u2 。 □
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记u
1 42
udS
，
nu
1 42
nudS
，即 u 和
nu
分别为u
和
nu在
上的平均值，则
\K 1 r u d u n 1 r 1 r n u d 4 S u 4 n u
令 0，则
1 r u d u n 1 r 1 r n u d S 4 u (M 0 )
所
以
M0
1 rM 0 M
0
，
从
而
R(M0 ) 0。由叠加原理，V (M0 ) F (M0 )。（见引
力场势函数）。
V
(
M
0
)称为体位势：
1 4
F
(
M
)可理解为电荷体密度或质量密度。
利用体位势，可将泊松方程的求解问题通过叠加原理化为调和方
程的求解问题。
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4)调和方程的诺伊曼内问题有解的必要条件
则对M 0 ，有
u(M0)21u(M)n lnrM 10MlnrM 10Mu(n M )dM s
1
1
2lnrM0Mu dM
当u是内的调和函数时，即u 0时，若M0 ，则
有 u (M 0 ) 2 1 u (M ) n lr n M 1 0 M lr n M 1 0 M u (n M ) d M s
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3) 泊松方程
利用基本积分公式(2.8)很容易导得泊松方程的一个
特解表达式。
事 实 上 ， 设 有 函 数 u(M ) C 2 () C1() ， 满 足
u F ，其中F C 0 ()，由(2.8)，对M0
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(n M )dSM
，所以
1 u 1 u
a
r
n dS
a
a
ndS
0
u(M0 )
1 4
a
u
n
1 r
dS
1 4a 2
a
udS
从而(2.11)成立。 □