海南中学2020学年第二学期期中考试高一数学试题（试题卷）（总分：150分；总时量：120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝5，且21n n n a a a ++=+，则5a ＝( ) A ．13 B. 15 C ．17 D ．192、不等式(x ＋3)2＜1的解集是( )A ．{x |x ＜－2}B ．{x |x ＜－4}C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2} 3是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（ ）． C. 22a b > D. 33a b > 4＝10，A ＝60°，则sin B ＝( )A D 5、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）． A. 5 B. 7 C. 6、若关于x 的不等式的解集为()0,2，则实数m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 47、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )A ．1 B. 2 C .3－1 D. 38、已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A. 72 B ．4 C. 92D ．5 9、中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤10、设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式230x ax a +-<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）B. 0a >C. 0a >或12a <-D.11、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n）12、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则()tan A B -的最大值为（ ）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分.）13、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若a ∶b ∶c ＝3∶1∶1，则角A 的大小为____________14、不等式x ＋1x≤3的解集为__________________．15、数列{}n a 的通项公式为2141n a n =-，则其前n 项和为_______________.16、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，10a <，170S <，180S >，则当n =________时，n S 取得最小值。

三、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题10分）等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n项和S n .18、（本小题12分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；（2）若2c =， △ABC .19、（本小题12分）（1）已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． （2）解不等式：()210x m x m +-->，其中m R ∈.20、（本小题12分） 设数列{}n a 满足12n n a -++= *n N ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S21、（本小题12分）为绘制海底地貌图，测量海底两点C ， D 间的距离，海底探测仪沿水平方向在A ， B 两点进行测量， A ， B ， C ， D 在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得30,45,BAC DAC ∠=∠=45,75,ABD DBC ∠=∠= 同时测得3AB =海里。

（1）求AD 的长度; （2）求C ， D 之间的距离.22、（本小题12分） 已知数列{a n }的首项135a =， 1321n n n a a a +=+， *n N ∈．(1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2)记12111n nS a a a =+++，若S n <100，求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1， a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．海南中学2020学年第二学期期中考试高一数学试题（参考答案） （总分：150分；总时量：120分钟）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCDCAABCBABD二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分.） 13、 120°（或者23π） 14、 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜0或x ≥1215、21nn + 16、 9 三、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题10分）解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝2n. (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .18、（本小题12分）解:（1）在△ABC 中，由正弦定理知sin sin sin a b cA B C==2R = 又因为()2cos cos a b C c B -⋅=⋅所以2sin sin cos AcosC BcosC BsinC =+，即2sin cos sin A C A = ∵0A π<<,∴sin 0A >∴1cos 2C = ∵0C π<< ∴3C π=（2）∵1sin 32ABC S ab C ∆== ∴4ab = 又()222223c a b abcosC a b ab =+-=+- ∴()216a b += ∴4a b += ∴周长为6. 19、（本小题12分）解：（1）(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝a 2(a －b )－b 2(a －b )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )，∵a ＞0，b ＞0，且a ≠b ， ∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0. ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0， 即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.（2）∵()()10x x m +->， ∴当1m =-时，解得1x ≠-，当1m >-时，解得1x <-或x m >； 当1m <-时，解得x m <或1x >-，综上所述，当1m =-时，不等式的解集是{}|1x x ≠-； 当1m >-时，不等式的解集为{| 1 x x <-或}x m >； 当1m <-时，不等式的解集为{|x x m <或}1x >-． 20、（本小题12分）解：（112n n a -++= 当2n ≥时，122n n a --++=①-②得，2nn a = 当1n =时， 12a =适合上式，所以2nn a =（*n N ∈） （2）由（1）得2n n a =所以2nn n b na n ==所以123n n S b b b b =++++1231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅③()23121222122n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅④③-④得1212222n n n S n +-=+++-⋅所以()1122n n S n +=-+21、（本小题12分）解：（1）如图所示,在ABD ∆中30457560BADBAC DAC ADB ∠=∠+∠=︒+︒=︒∴∠=︒由正弦定理可得， （2）4575120ABC ABD DBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 30BAC BCA ∠=∠=︒，在ACD ∆中，由余弦定理得， 2222cos 5CD AC AD AC AD DAC =+-⋅∠= 即5CD =（海里）．答： 2AD =， C ， D 间的距离为5海里.22、（本小题12分） 解：(1)因为＝＋，所以－1＝－.又因为－1≠0，所以－1≠0(n ∈N *)．所以数列为等比数列．(2)由(1)可得－1＝·n －1，所以＝2·n＋1.S n ＝＋＋…＋＝n ＋2＝n ＋2·＝n ＋1－，若S n <100，则n ＋1－<100，因为函数y= n ＋1－单调增， 所以最大正整数n 的值为99. (3)假设存在，则m ＋n ＝2s ，(a m －1)(a n －1)＝(a s －1)2， 因为a n ＝，所以＝2，化简得3m＋3n＝2·3s，因为3m＋3n≥2·＝2·3s，当且仅当m ＝n 时等号，又m ，s ，n 互不相等，所以不存在．。