海南中学2016——2017学年第一学期期末考试高一数学试题（必修4）（考试时间：2017年1月；总分：150；总时量：120分钟）第一卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．）1. 如果角α的终边经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，那么tan α的值是（ ）A. 3-B. 33-C. 3D. 332. cos555︒的值为（ ） A.624+ B. 624- C. 624+- D. 264- 3. 化简 AB CD BD AC -+- 的结果是（ ） A.0 B.AC C. BD D. DA4. sin 20cos110cos160sin70︒︒+︒︒的值是（ ） A.0 B. 12- C. 1 D. 1-5. 已知三点()()()1,1,1,,2,5A B x C --共线，则x 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知一扇形的圆心角是60︒，弧长是π，则这个扇形的面积是（ ） A. 3π B. 32π C. 6π D. 34π 7. 已知向量,a b 满足()2,3,1a b a b a ==•-=，则a b -=（ ）A 3B ．22C 7D 238. 已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111cos ,cos 714ααβ=+=-，则角β=（ ） A. 3π B. 6π C. 512πD. 4π 9. 已知sin 11cos 2x x +=，则sin 1cos x x-的值是（ ） A.12 B. 2 C. 12- D. 2- 10. 两个粒子A ，B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为()()2,10,4,3A B s s ==,粒子B 相对粒子A 的位移是s ，则s 在B s 的投影是（ ）A ．135 B. 135- C. 135353 D. 135353-11. 动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。

已知时间0t =时，点A 的坐标是13(,22，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ） A ．[]0,1B ．[]1,7C ．[]7,12D ．[]0,1和[]7,1212. 若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且 3450OA OB OC ++=，则 OC AB ⋅的 值为（ ） A. 15-B.15 C. 65- D.65海南中学2016——2017学年第一学期期末考试高一数学试题（必修4） 第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________.14．在ABC ∆中，5,8,60BC CA C ==∠=︒,则BC CA = .15.一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 .16.设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin(2)12πα+的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本题满分10分）已知()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=，求tan tan αβ的值.18. （本题满分12分）已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+。

（Ⅰ）求a b ⋅；（Ⅱ）求a 与b 的夹角θ。

19. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

（Ⅰ）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （Ⅱ）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。

20.（本题满分12分）（Ⅰ）请默写两角和与差的余弦公式（()(),C C αβαβ+-)，并用公式()C αβ-证明公式()C αβ+()():cos C αβαβ++= ；()():cos C αβαβ--= .（Ⅱ）在平面直角坐标系中，两点()()1122,,,A x y B x y 间的距离公式是：()()222121AB x x y y =-+-，如图，点()()11,0,cos ,sin A P αα，()()()()()()2cos ,sin ,cos ,sin P P ββαβαβ--++，请从这个图出发，推导出两角和的余弦公式（()C αβ+）（注：不能用向量方法）.21．（本题满分12分）已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值。

22.已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(3,2cos )b x ω=，设函数()(R)f x a b x =⋅∈的图象关于直线2x π=对称，其中ω为常数，且(0,1)ω∈. （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3π个单位，纵坐标不变，得到()y h x =的图象， 若关于x 的方程()0h x k +=在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.[0,]2海南中学2016——2017学年第一学期期末考试高一数学试题（必修4） 答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADCBAADBDA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.3 14．20- 15. 27 16.17250三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本题满分10分）已知()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=，求tan tan αβ的值. 17. 解：()1sin sin cos cos sin ,5αβαβαβ+=+=()3sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-= ..................（4分）解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩...................（8分）两式相除，得tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-. ..................（10分） 18. （本题满分12分）已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+。

（Ⅰ）求a b ⋅； （Ⅱ）求a 与b 的夹角θ。

18. 解：（Ⅰ）012121||||cos602e e e e ⋅==a b ∴⋅＝12(2)e e +⋅12(32)e e -+＝－612e ＋12e e ⋅＋222e ＝176222-++=-；...............（5分）（Ⅱ）222121122||(2)444217a e e e e e e =+=++=++=，222121122||(32)91249647b e e e e e e =-+=-+=-+=， ....................（9分）所以712cos 2||||77a b a b θ-⋅===-⨯，又θ[0,180]∈︒，所以θ＝120°。

............（12分）19.（本题满分12分） 解：（Ⅰ）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则 (2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-= 所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为210、42. .......................（6分） （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则: E （0，1）为B 、C 的中点，又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210； （Ⅱ）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。

由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=， 从而511,t =-所以115t =-。

.............................（12分） 或者：2· AB OC tOC =，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==- 20.解：（本题满分12分）（Ⅰ）()():cos C αβαβ++= cos cos sin sin αβαβ- ；......（1分）()():cos C αβαβ--= cos cos sin sin αβαβ+ . ....................（2分） ()()()()():cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin C αβαβαβαβαβαβαβ++=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦.........................（4分） （Ⅱ）连接12,PA PP ,易知12OPA OPP ∆≅∆,故12PA PP =,从而 ................（6分）()()()()()()()()2222cos 1sin 0cos cos sin sin αβαβαβαβ+-++-=--+--（8分）即 ()22cos 22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ .......................（10分）所以 ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ............................（12分）21．（本题满分12分）已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值。

21．解：由2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-，得2()3(2sin cos )(2cos 1)3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+......（4分）（Ⅰ） 所以函数()f x 的最小正周期为π ..........................（5分） 因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又 (0)1,2,162f f f ππ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-1. ......................（7分） 或者：7102sin(2)11()2sin(2)22666266x x x f x x ππππππ≤≤⇒≤+≤⇒-≤+≤⇒-≤=+≤由 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-1. （Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭又因为06()5f x =，所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 从而2004cos 21sin 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以0000343cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610x x x x ππππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦............... （12分）22.已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(3,2cos )b x ω=，设函数()(R)f x a b x =⋅∈的图象关于直线2x π=对称，其中ω为常数，且(0,1)ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3π个单位，纵坐标不变，得到()y h x =的图象， 若关于x 的方程()0h x k +=在区间[0,]2π上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围. 22．由直线2x π=是()y f x =图象的一条对称轴，可得()32k k z πππωπ+=+∈，即1()6k k z ω=+∈．又(0,1)ω∈，k z ∈，所以0k =，故16ω=.。