u v (uv vu)d u v dS. n n
(6)
平面上格林公式
u v ( u v v u ) d u v dS. n n D C
(6’)
16
第4章主要内容 3 调和函数的积分表达式(三维情形)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x)
(3)
(4)
的达朗贝尔解为公式
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
1 x at ( )d . (18) x at 2a
其中方程(3)的通解形式为
u( x, t ) f ( x at) g ( x at).
nx sin (n 1, 2, ); l (2n 1)x sin (n 1, 2, ); 2l (2n 1)x cos (n 1, 2, ); 2l nx cos (n 0, 1, 2, ); l
1 F [sin a ] [ ( x a ) ( x a )] 2i
1
14
几类常见的拉普拉斯变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5.
L[ (t )] 1
L[e
at
Re s 0
1 ] sa
1 特别的， L[1] s
L[t ]
n
n! s n 1
s L[cos at ] 2 s a2
(贝塞尔函数的应用) 分离变量法的想法
1. n 阶贝塞尔方程的固有值问题 r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0, (32)
F ( R) 0
| F (0) | ,
(33)
n 阶贝塞尔方程的通解可表示为
F (r) CJ n ( r) DYn ( r),
1 u(M 0 ) 2



( x x )
0
f ( x, y) z 0 dxdy
2
( y y0 ) z 0
2
2 3/ 2

.
(26)
22
9
求解上半平面 y 0内的狄利克雷问题
u xx u yy 0 ( y 0),
u | y 0 f ( x), x ,
u |C f ( x, y)
(19’)
在 D C 上具有一阶连续偏导数的解存在的话， 那么问题(19’)的解可表示为
u ( M 0 ) f ( x, y )
C
G dS. n
(20’)
其中
1 1 G( M , M 0 ) ln v, 2 rMM 0
(17’)
21
8 求解上半空间 z 0内的狄利克雷问题
2
1 x at ( )d x at 2a
(26)
1 t x a (t ) f ( , )d .d . 2a 0 x a (t )
3. 会应用傅氏变换和拉氏变换求解定解问题
书上例子很重要
13
书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5.
u |r r0 f ( ).
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
1 1 u rr u r 2 u F (r , ), (0 r r0 ), r r
(P)
思路1 (1)找出此泊松方程的一个特解 w(r , ), 令 (2)将泊松方程化成拉普拉斯方程
r ,
(42)
其中系数 C m 由下式确定
Cm

R
0
(n) m rf (r ) J n R r dr . R2 2 (n) J n 1 ( m ) 2
(43)
4. 贝塞尔函数的应用(分离变量法)，书上例子
11
第3章主要内容 1
(适用无界区域)
无限长弦自由振动问题 utt a 2u xx ( x , t 0),


(25)
(26) (27) (28)


( x). J n1 ( x) J n1 ( x) 2J n
特别的，
( x) J1 ( x); J0
d xJ 1 ( x) xJ 0 ( x). (29) dx
10
第5章主要内容 3. 傅里叶-贝塞尔级数
(n) m f (r ) C m J n R m 1
(13)
12
行波法或达朗贝尔解法
第3章主要内容 2 无限长弦强迫振动问题
utt a 2u xx f ( x, t ) ( x , t 0), (1)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x)
(2)
的解为公式
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
1 u(M 0 ) 4 1 u ( M ) rMM n 0 1 u ( M ) dS. rMM n 0
(8)
二维情形下，调和函数的积分表达式
1 u(M 0 ) 2 ln 1 u ( M ) rMM n C 0 1 u ( M ) ln dS. rMM 0 n
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时间：5月11日全天 地点：科技楼南楼602（应用数学系办公室）
1
第2章主要内容
(适用有界区域、两个变量)
1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
分离变量法、固有函数法、作辅助函数法
方程和边界 条件齐次 方程非齐次， 定解条件齐次 边界条件非齐次
(19)
在 上具有一阶连续偏导数的解存在的话， 那么问题(19)的解可表示为
u ( M 0 ) f ( x, y, z )

G dS. n
(20)
其中
G( M , M 0 ) 1 v, 4rMM 0
(17)
20
7
如果二维拉普拉斯方程的狄利克雷问题
u( x, y) 0, ( x, y) D,
以上4种辅助函数的情形对一维波动方程和一维热 传导方程都适用。 注意特殊情形：课件中2.5节的例2’
4
第2章主要内容 2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言：
● 对圆域采用极坐标 ● 对于矩形域 0 x a, 0 y b;采用直角坐标系
用分离变量法
5
第2章主要内容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
a L[sin at ] 2 s a2
L1[F (s)est 0 Байду номын сангаас f (t t0 ) (t t0 )
延迟定理的 逆变换形式
15
第4章主要内容
二维、三维拉普拉斯方程边值问题
1 二维、三维拉普拉斯方程的基本解分别为
1 U 0 ln r 1 U0 r
(r 0),
2 空间上格林第二公式
以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和 矩形域上的泊松方程是适用的。 (5) 圆域上的泊松方程对应的固有函数系为 1, cos , sin , cos2 , sin 2 ,cosn , sin n ,
3
几种非齐次边界条件相应的辅助函数 w( x, t ) 的表达式：
x (1) u(0, t ) u1 (t ), u(l, t ) u2 (t ); w(t , x) l [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). (2) u(0, t ) u1 (t ), u x (l, t ) u2 (t ); w( x, t ) u2 (t ) x u1 (t ).
18
5 利用极值原理证明拉普拉斯方程或泊松方程
狄利克雷问题解的唯一性。
补充：学会结合极值原理和狄利克雷问题解的唯
一性处理问题（例如格林函数性质5、
习题四第8题等）
6 如果三维拉普拉斯方程的狄利克雷问题
u( x, y, z ) 0, ( x, y, z ) ,
u | f ( x, y, z)
F [ ( x )] 1
F [
1
1
sin m

2t
1 ] , | x | m 2
1 4t
1
F [e
]
e

x2 4t
(t 0)
F 1 [e || y ]
y ( y 0) 2 2 y x
1 F 1 [cos a ] [ ( x a) ( x a)] 2
固有值和固有函数分别为

(n) m
R
( n) m
,
2
( n) m Fm ( r ) J n R
r
(m 1, 2, ).
9
第5章主要内容 2. n 阶贝塞尔函数的递推公式
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x), dx d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx 2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x), x
1 1 v rr v r 2 v 0, r r
(0 r r0 ),
v |r r0 f ( ) w(r0 , ). 可用分离变量法求解问题(Q)
(Q)
6
第2章主要内容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
u |r r0 f ( ).
1 1 u rr u r 2 u F (r , ), (0 r r0 ), r r
(3)