00
|()()t t u x u
x t
ϕψ===⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩k z
j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=
∇u u ∇=grad
拉普拉斯算子：
2222222
z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∇=∇2
2
22
2
y u x u u ∂∂+∂∂=∇ 四种方法:
分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题：
初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条
波动方程的边界条件:
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。

定解问题的分类和检验：(1) 初始
问题：只有初始条件，没有边界条
件的定解问题；
(2) 边值问题：没有初始条件，只
有边界条件的定解问题；
(3) 混合问题：既有初始条件，也
有边界条件的定解问题。

•解的存在性：定解问题是
否有解；
•解的唯一性：是否只有一
解；
•解的稳定性：定解条件有
微小变动时，解是否有相应的微小变动。

分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。

把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。

适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等
分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题
常用本征方程齐次边界条件
2''0
(0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x
λλββπβ+=⎧⎨
==⎩
====212
''0(0)'()0,()/,0,1,2,sin k k X X X X l k l k X x
λλββπβ+=⎧⎨==⎩==
+==2
12''0
'(0)()0,()/,0,1,2,cos k k X X X X l k l k X x
λλββπβ+=⎧⎨
==⎩==+==2''0'(0)'()0
,/,0,1,2,
cos k k X X X X l k l k X x
λλββπβ+=⎧⎨
==⎩====
非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。

解出齐次问题。

求出任意非齐次特解。

叠加成非齐次解。

行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。

这一思想与常微分方程的解法是一样的。

2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。

3.适用范围：无界域内波动方程，等…
u f
n
Γ
∂=∂[]11()()()d 22x at x at u x at x at a
ϕϕψξξ+-=++-+⎰一维波动方程的达朗贝尔公式
解的性质：1.只有初始位移时，
[]1
(,)()()2
u x t x at x at ϕϕ=++-()x at ϕ-代表以速度a 沿x 轴正向传播的波。

()x at ϕ+代表以速度a 沿x 轴负向传播的波。

2.只有初始速度时：
1(,)()d 2x at
x at u x t a ψξξ+-=⎰假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于
11(,)()()
u x t x at x at ψψ=+--[]11(,)()()()d 22x at
x at u x t x at x at a ϕϕψξξ+-=
++-+⎰
3 积分变换法求解问题的步骤
1.• 对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程
2.对定解条件做相应的积分变换，导出新方程的定解条件
3.对常微分方程，求原定解条件下解的变换式4,对解的变换式 相应的逆变换，得到原定解问题的解
拉普拉斯方程的格林函数法：拉普拉斯方程边值问题的提法：
2()d d d V
S
V v
u v V u
S u v V
n
∂∇=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰222
00022001
1
()()()11ln ln ()()r x x y y z z k r x x y y ⎧=⎪-+-+-⎪
=⎨⎪=⎪-+-⎩三维二维0111()(())d 4S u u M u S n r r n
π
∂∂=-
-∂∂⎰⎰
22()d ()d V S v u u v v u V u v S
n n ∂∂∇-∇=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰d 0S u
S n ∂=∂⎰⎰021()d 4a
k u M u S a π=⎰⎰0
01(,)4MM G M M r π=
001
()()d 4MM u M F M V r πΩ
=⎰⎰⎰
000000
11
(,)()()d ()d 44MM M M G M M F M F M M F M M r r r ππ⊗==-⎰
⎰
()⎩⎨
⎧=Ω--=∇Γ0|,)(02u M u 内r r δ0(,)G M
M ()⎩⎨
⎧=Ω-=∇Γ0
|,)(2u M F M u 内
000()(,)()d u M G M M F M
V Ω=⎰⎰⎰⎩⎨
⎧=Ω-=∇Γ)(|,)(2M f u M F M u 内
）（000000
(,)
()(,)()d ()d G M M u M G M M F M V f M S n
Ω
Γ
∂=-∂⎰⎰⎰⎰⎰
2()0,|()u M u f M Γ⎧∇=Ω⎨
=⎩内
000
(,)
()()d G M M u M f M S n
Γ
∂=-∂⎰⎰
1 第一边值问题（狄氏问题）
u f
Γ= 2 第二边值问题（牛曼问题）
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数
22()d ()d V
S
v u
u v v u V u
v S n n ∂∂∇-∇=-∂∂⎰⎰⎰
⎰⎰ --------格林公式及其结论
调和函数的积分表达式1.拉普拉斯方程的基本解
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。

2 牛曼内问题有解的必要条件
取 3 平均值公式 4 拉普拉斯方程解的唯一性问题；狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的。

纯点源产生的场（不计初始条件和边界条
件的影响),(0M M G 自由空间的格林函数
对泊松问题
对拉普拉斯问题
1v =
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡-
=
1
1141),(0MM MM r r M M G π0(,)G M M 0
0,10(,)4M M G M M r π<<
1221(,)(,)G M M G M M =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+--=
3210111141),(0MM MM MM MM r r r r M M G π
()222,()0,(00)x y xy x n y x R y R y λλ''⎧<⎪⎨=<+=∞'+-⎪⎩(1)
21()exp ()42n n H x j x x πππ⎛⎫=-- ⎪
⎝
⎭(2)21()()42n n H x j x x πππ⎛
⎫=
--- ⎪⎝
⎭区域的格林函数和狄氏问题的解电象法求格林函数 在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。

这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。

半空间的格林函数 格林函数的性质: 1 、格林函数在除去M= M0一点外处处满足拉普拉斯方程。

当M 趋于 M0时,2 、在边界上
格林函数
恒等于零
3 、在区域内，下面的不等式成立 4、在区域内，格林函数具有对称性
四分之一空间的格林函数
，
(
)
2
22
=-+'+''y n x y x y x 20(1)()!(1)2n m
m n m x J x m n m +∞
=-⎛⎫
= ⎪
Γ++⎝⎭
∑απ
απαααsin )(cos )(lim
)(x J x J x Y n n -→-=()()
n n y AJ x BY x =+
A 、
B 为任意常数，n 为任意实数
A 、
B 为。