第二节 几类简单微分方程及其解法

本节将介绍可分离变量的微分方程、齐次方程以及一阶线性微分方程等一阶微分方程的解法. 一阶微分方程是微分方程中最基本的、最常见的一类方程.它的一般形式可表示为：

0)',,(yyxF或),('yxFy，

其中)',,(yyxF为,,'xyy的已知函数，),(yxF为,xy的已知函数. 一、可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程),('yxFy的等式右端能分解为：

)()(),(ygxfyxF，

即)()('ygxfy (7.2.1) 则称方程(7.2.1)为可分离变量的微分方程.

设)(yg≠0，则方程(6.2.1)改写为：

dxxfdyyg)()(1，

上式两边积分，可得 dxxfdyyg)(

)(

1.

上述将微分方程化成分离变量形式求解的方法，称为分离变量法. 注：在分离变量时，未知函数y的函数和微分要写在等式的左边.

例1 求微分方程)3(2'yxy的通解. 解1： 原方程可改写为)3(2yxdxdy.

分离变量，两边积分,得,231xdxdyy ,3ln12cxy即.312cxey

记1cec，则微分方程的通解为 32xcey （c为任意常数）.

解2： 原方程可改写为)3(2yxdxdy. 分离变量，两边积分,得,231xdxdyy ,ln)3ln(2cxy即,3ln2xcy23xcey

则微分方程的通解为 32xcey （c为任意常数）.

注：为了简化运算，规定： （1） 微分方程中出现形为udu的积分时，可不按不定积分基本积分公式表写成

lnduucu，而是写成lnduuu；

（2） 不定积分等式中至少有一个形为udu的积分时，任意常数不写成c，而写成cln并放在等式右侧. 例2 求微分方程yxy'的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 ,dydxyx

cxylnlnln cxln 则微分方程的通解为cxy （c为任意常数）.

例3 求微分方程dxexdyxeyy)1(2)1(2的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得

dxxxdyeeyy2121，

cxeyln)1ln()1ln(2 )1(ln2xc，

).1(12xcey 则微分方程的通解为 ]1)1(ln[2xcy （c为任意常数）.

例4 求微分方程)'('2yyaxyy的通解. 解: 原方程可写为 ,')(2ayyyxa 分离变量，两边积分,得 dyayy)1(11()1adyyay

1dxax, ,ln)ln()1ln(lncxaayy

)(ln1lnxacayy，

即 ).(1xacayy

则微分方程的通解为 )1)((ayxacy （c为任意常数）.

例5 求微分方程0sin)1(cosydyeydxx满足定解条件4)0(y的特解. 解: 分离变量，两边积分, 得

dxeedyyyxx1cos

sin

，

cos(1)cos1xxdydeye



,

即 ceyxln)1ln(cosln

)1(lnxec，

则微分方程的通解为 )1(cosxecy

由定解条件 4)0(y 可得：42c， 所以，所求特解为 )1(42cosxey. 例6 跳伞运动员跳伞下落，当伞张开时，伞以初速度为零垂直下落. 设空气助力与运动速度成正比，求跳伞运动员下落速度与时间的函数关系及其极限速度.

解: 设下落速度为)(tv，则加速度)('tva. 跳伞运动员所受的外力为：重力mg，方向

与速度方向相同；阻力)0(kkv，方向与速度方向相反. 根据牛顿第二定律，下落速度)(tv满足的微分方程为 ,'mvkvmg

定解条件为,0)0(v 分离变量，并积分,得 ,mdtkvmg

dv

(),dmgkvkdtmgkvm



，

ln()lnkmgkvtcm，

lnmgkvktcm，

ktmmgkvec

，

通解为： ),(1tmkcemgkv

代入定解条件 ,0)0(v可得,mgc 所以，跳伞运动员下落速度与时间的函数关系为

).1(tmkekmgv 当时间足够大时，极限速度为 )1(limlimtmkttekmgv

.kmg 答 下落速度与时间的函数关系为)1(tmkekmgv，极限速度为kmg. 二、齐次微分方程 如果一阶微分方程可写为

)(xyfdxdy （7.2.2）

则称方程（7.2.2）为齐次微分方程，简称为齐次方程. 特点: 将所给一阶微分方程整理成标准形式(,)yFxy,如果(,)Fxy中的每一项里的

x,y的幂指数之和恒为同一常数k,该方程为齐次微分方程.

解法: 通过变量替换,化为可分离变量的方程. 令 xyu， xuy ))((xuu

对x求导，得)('ufxuudxdy，即 uufxu)(' 分离变量并积分，得 cxduuufln)(1

（c为任意常数） （7.2.3）

完成等式左端的积分并回代，即可得到通解. 例7 求微分方程xyxyytan'的通解.

解: 令xyu, xuy，''tan,yuxuuu 代入方程得 uxutan' 分离变量，两边积分,得

cotdxudux，

,lnsinlncxu cxusin，

则微分方程的通解为

,sincxxy或cxxyarcsin，（c为任意常数）.

三、一阶线性微分方程 如果一阶微分方程),('yxFy的未知函数及其导数都是一次项的，称为一阶线性微分方程. 一阶线性微分方程的一般形式为 ).()('xqyxpy （7.2.4）

如果0)(xq，则方程（6.2.4）成为 .0)('yxpy （7.2.5）

方程（7.2.5）称为一阶齐次线性微分方程，相应地，方程（7.2.4）称为一阶非齐次线性微分方程. 1、 一阶齐次线性微分方程 一阶齐次线性微分方程是可分离变量的微分方程.分离变量后，可写为

,)(1dxxpdyy 两边积分,得 (),dypxdxy

,ln)(lncdxxpy

ln(),ypxdxc 则一阶齐次线性微分方程（7.2.5）的通解为 ()pxdxyce （c为任意常数）. 7.2.6） 2、一阶非齐次线性微分方程 将一阶非齐次线性微分方程（7.2.4）中的)(xq取为零，得到得齐次线性微分方程（7.2.5）称为该非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程. 为了求得一阶非齐次线性微分方程（7.2.4）的通解，可采用常数变易法：即在求得对

应的齐次线性微分方程的通解（7.2.6）后，将通解（7.2.6）中的常数c变易为待定函数)(xu

代入方程（7.2.4）得)(xu满足的关系式,求解)(xu得到通解y. 设一阶非齐次线性微分方程（7.2.4）的通解为 ,)()(dxxpexuy ,)()()()()(''dxxpdxxpexpxuexuy

将y和'y代入一阶非齐次线性微分方程（7.2.4），得

()()()()'()'()()()()()'()(),pxdxpxdxpxdxpxdxypxyuxeuxpxeuxpxeuxeqx ()'()(),pxdxuxeqx

积分，得 .)()()(cdxexqxu

dxxP

因此，一阶非齐次线性微分方程（7.2.4）的通解为 ()()[()],Pxdxpxdxyqxedxce （c为任意常数） （7.2.7）

公式（7.2.7）可改写为 .)()()()(dxexqeceydxxPdxxpdxxp

由上式可见，一阶非齐次线性微分方程（7.2.4）的通解是对应的一阶齐次线性微分方程的通解dxxpceY)(和其本身的一个特解dxexqeydxxPdxxp)()()(*的和.*yYy 这个结论对其他类型非齐次线性方程亦成立. 为了简便起见，本书中，我们称非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解Y为非齐次线性微分方程的‘余函数’ .

例8 求微分方程02'xyy的通解.

分析：该方程为一阶齐次线性微分方程，xxp2)(，可用分离变量法，也可用公式（7.2.6）直接求解. 解： 通解为

xdxcey2

2xce ， （c为任意常数）.

例9 求微分方程xeyy'的通解. 分析：该方程为一阶非齐次线性微分方程，1)(xp，xexq)(，可用公式（7.2.7）直接求解. 解： 通解为 dxdxxecdxeey)(

()xdxce ()xxce， （c为任意常数）.

例10 求微分方程xxyxysin1'满足定解条件1)2(y的特解. 分析：该方程为一阶非齐次线性微分方程，xxp1)(，xxxqsin)(，可用公式（7.2.5）直接求通解，再用定解条件1)2(y求特解. 解： 通解为 11sin()dxdxxxx

yedxcex