3 2 5 2
O
x
S
图3-3
例4 一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一
端的温度恒为T1，另一端温度恒为T2，（T1、T2为常数，T1> T2）。 金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中， 空气温度为T3，（T3< T2，T3为常数），导热系数为α，试求金属 杆上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为λ） dt时间内通过距离O点x处截面的热量为： AT '( x)dt 热传导现象机理：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高
微分方程模 型
浙江大学数学建模实践基地
§3.1 微分方程的几个简单实例
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
例3 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了
水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻 被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共 需要多少时间？
解: 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。 令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分 方程。 设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水 即： dh 0.6S 2hg 2 的内部磨擦力和表面张力的假定下，有： dt [ R2 ( R h) ] (t ) 0.6 2gh 这是可分离变量的一阶微分方程，得 y 2 2 0 [ R ( R h) ] 因体积守衡，又可得： dh T 易见：
敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方 程为r=r(θ)，见图3-2。 A1 dr ds dr 由题意， 2 ，故ds=2dr ds dt dt
dθ
T2 T 系统处于热平衡状态，故有： AT ( x)dxdt1 Bdx[T ( x) T3 ]dt l
所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程: o
这是一个两阶常系数线 性方程，很容易求解
T ( x)
B T3 (T T3 ) 单摆运动）建立理想单摆运动满足的微
分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， g 根据牛顿第二定律可得： 0 （3.2） （3.1）的 l 近似方程 ml mg sin 从而得出两阶微分方程： （3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt 这是理想单摆应 g sin 0 其中 g 满足的运动方程 （3.1） l l T 当t 时,θ(t)=0 (0) 0, (0) 0 4 gT 故有 l 4 2 （3.1）是一个两阶非线性方程，不 由此即可得出 易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时， g T 2 可考察（3.1）的近似线性方程：
( 图3-2可看出，ds)2 (dr)2 (rd )2
B
θ 图3-2
A
故有: 3(dr )2 r 2 (d )2 即:
r dr d 3

（3.3） （3.4）
解为：r
Ae
3
追赶方法如下：
先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4） 对数螺线航行，即可追上潜艇。
但由题意可以看出，因金属 一般情况下，在同一截面上 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比， dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为： AT '( x dx)dt 杆较细且金属杆导热系数又 的各点处温度也不尽相同， 比例系数与介质有关。 由泰勒公式： AT '( x dx)dt A[T '( x) T ( x)dx]dt 较大，为简便起见，不考虑 如果这样来考虑问题，本题 这方面的差异，而建模求单 要建的数学模型当为一偏微 金属杆的微元[x,x+dx]在dt内由获得热量为： AT ( x)dxdt 变量函数T(x)。 分方程。 同时，微元向空气散发出的热量为： Bdx[T ( x) T3 ]dt
l
(0) 0, (0) 0
l
M P Q
mg
图3-1
例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了
我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。
这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：
(2 R hR2 h h )dh 2 r0.6SR 2 g( R )
dV 0.6dh 2 gh dt r 2 S s 0
R

3 2
R r h
5 2
故有：
4 2 14 R [R (R h)2 ]dh 0.6S 2ghdt Rh h 0 R 5 0.6S 2 g 3 9S 2 g