微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模 型。其实在自然科学和科学技术的其它领域中，例如化学、 生物学、自动控制、电子技术等等，都提出了大量的微分 方程问题。同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方 程问题。
这里我们只研究自变量仅有一个的微分方程，即常 微分方程。常微分方程和数学的其它分支有密切的联系， 它们往往互相联系、互相促进。例如几何学就是常微分 方程理论的丰富源泉和有力工具。考虑到常微分方程与 实际联系比较密切，我们应该注意它的实际背景和应用。
设 yx ( ) 在 区 间 I 上 有 n 阶 导 数 , 如 果
( n ) F ( x , ( x ), ( x ), , ( x )) 0 .

( n ) 则 y ( x ) 是 F ( x , y , y , , y ) 0 在 区 间 I 上 的 一 个 解
阶线 性 一 般 n 微 分 方 程 具 有 形 式
( n ) ( n 1 ) y a ( x ) y a ( x ) y a ( x ) y f ( x ) 1 n 1 n
a ( x ) , , a ( x ) ,f ( x ) 是 x 的 已 知 函 . 这里 数 1 n
Hale Waihona Puke , c ) ny 例 （ 1 ） y ,
y0 （ 2 ） y ,
x 通解 y ce ;
不是线性方程的方程称为非线性方程。例如
x ( y ) 2 y y x 0 ;
2
d2 g sin 0 dt 2 l
分类4: 单个微分方程与微分方程组. dy dx 3 y 2 z , dz 2 y z , dx
微分方程的解:能使微分方程成为恒等式的函数.
在实际问题中所遇到的微分方程大都比较复杂，因 此研究微分方程理论及其解法就是我们面临的一个重要 问题。关于这方面的知识，在第七章中我们还要作较为 系统的介绍，本节只讨论几类能直接利用积分方法求解 的简单微分方程及其应用。
一、几个基本概念
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
例
xy y ,
都是微分方程
注: 定义中未知函数的导数(或微分)是不可少的
分类1:按微分方程中含未知函数的情形来分 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程； 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程. 分类2:按微分方程的阶数来分 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 一阶微分方程
F ( x , y , y ) 0 , y f ( x ,y );
( n ) F ( x , y , y , , y ) 0 ,
( n 1 ) y f ( x , y , y , , y ). ( n )
高(n)阶微分方程形如
分类3: 线性与非线性微分方程.
其 中 C 与 C 是 两 个 任 意 常 数 。 1 2
根据题意，还应满足两个附加条件：
h | H t 0 d h v v 0 d t t 0
v , C H , 因 此 所 求 的 h ( t ) 应 为 代入上式可得， C 1 0 2
12 h ( t ) H h t v t 0 2 2
解
设 质 点 开 始 下 落 的 时 刻 为 t 0 , 在 任 意 时 刻 质 点 的 高 度 h h ( t ) , 则 有 N e w t o n 第 二 定 律 ， h 应 满 足 ：
d 2h m 2 mg dt
2 dh 或 g 2 d t
（ 2 ）
两次积分可得
1 2 ht () h t C t C 1 2 2
第六节
几类简单的微分方程
为了研究事物的运动发展规律，必须建立起描写运动 变化规律的函数关系。在大量的实际问题中遇到稍为复杂的 一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（或函 数） 往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变量和它们 的导数（或微分）间的关系式。这种联系着自变量、未知量 及其导数（或微分）的关系式，称之为微分方程，其中导数 或微分是不可少的。
( 2 )
上述两例虽然都简单，但都列出了含有未知 函数导数的关系式(1)和（2）. 微分方程: 凡表示未知函数、未知函数的导数或微分与 自变量之间关系的方程叫微分方程.
x y 2 y 3 y e , z 2 x y, ( t x ) dt xdx 0 , x
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x ,求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 yy (x )
dy 2x dx (1)
其中 x 1 时 , y 2
y 2xdx
2 , 即 y x C
x 1, 时 y 2 C 1,
2
所求曲线方程为 yx 1.
例 2 . 设 质 量 为 m 的 质 点 从 高 度 为 H 的 地 方 自 由 下 落 ， 其 初 速 度 为 v , 不 计 空 气 阻 力 ， 试 求 质 点 在 下 落 过 程 中 高 度 h 与 时 间 t 之 间 0 的 关 系 .

微分方程的解的分类：
y (, x c , c , 数 c , c , … , c 的 解 ， 1 2 n 1 2
称为该n阶微分方程的通解。 这里，两个任意常数是独立的，是指他们不能通过运 算合并成一个。
( n ) 对 于 微 分 方 程 F ( x , y , y , . . . , y ) = 0 , 我 们 把 含 有 n 个 任 意 常
( n ) 对 于 微 分 方 程 F ( xyy , , , . . . ,y ) 0 , 如 果 它 的 ( n ) 左 端 为 y , y , . . . , y的 一 次 有 理 式 ， 则 称 该 方 程
为 n 阶 线 性 微 分 方 程 。
例如，
y P ( x ) y Q ( x ), 为一阶线性微分方程.