第四章 静电场本章提要1．电荷的基本性质两种电荷，量子性，电荷首恒，相对论不变性。

2．库仑定律两个静止的点电荷之间的作用力12122204kq q q q rr==F r rπε其中922910(N m /C )k =⨯⋅122-1-2018.8510(C Nm )4k -==⨯⋅επ3．电场强度q =F E0q 为静止电荷。

由10102204kq q q q rr==F r rπε得112204kq q rr==E r rπε4．场强的计算（1）场强叠加原理电场中某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。

i=∑E E（2）高斯定理电通量：在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定S ∆=∆S n ，θ为E 与n 之间的夹角，通过S ∆的电场强度通量定义为e cos E S ∆ψ=∆=⋅∆v Sθ取积分可得电场中有限大的曲面的电通量ψd e sS=⋅⎰⎰E高斯定理：在真空中，通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有电荷电量的代数和除以0ε，与封闭曲面外的电荷无关。

即i 01d sq=∑⎰⎰E S 内ε5．典型静电场（1）均匀带电球面0=E （球面内）204q rπε=E r（球面外）（2）均匀带电球体304q R πε=E r（球体内）204q rπε=E r（球体外）（3）均匀带电无限长直线场强方向垂直于带电直线，大小为02E rλπε=（4）均匀带电无限大平面场强方向垂直于带电平面，大小为2E σε=6．电偶极矩电偶极子在电场中受到的力矩=⨯M P E思考题4-1 020 4q q r==πεr 与FE E两式有什么区别与联系。

答：公式q FE =是关于电场强度的定义式，适合求任何情况下的电场。

而公式204q rπε=E r是由库仑定理代入定义式推导而来，只适于求点电荷的电场强度。

4-2一均匀带电球形橡皮气球，在气球被吹大的过程中，下列各场点的场强将如何变化？（1） 气球内部 （2） 气球外部 （3） 气球表面答：取球面高斯面，由00d nii q ε=⋅=∑⎰⎰ E S 可知（1）内部无电荷，而面积不为零，所以E 内= 0。

（2）E 外=204r q πε与气球吹大无关。

（3）E 表=204Rq πε随气球吹大而变小。

4-3 下列几种说法是否正确，为什么？（1） 高斯面上电场强度处处为零时，高斯面内必定没有电荷。

（2） 高斯面内净电荷数为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。

（3） 穿过高斯面的电通量为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。

（4） 高斯面上各点的电场强度为零时，穿过高斯面的电通量一定为零。

答：（1）错因为依高斯定理，E = 0 只说明高斯面内净电荷数（所有电荷的代数和）为零。

（2）错高斯面内净电荷数为零，只说明整个高斯面的d s⎰⎰ E S 的累积为零。

并不一定电场强度处处为零。

（3）错穿过高斯面的电通量为零时，只说明整个高斯面的d s⎰⎰ E S 的累积为零。

并不一定电场强度处处为零。

（4）对E = 0，则整个高斯面的d s⎰⎰ E S 的累积为零。

所以电通量φ=0。

4-4 试利用电场强度与电势的关系式d d l U E l=-分析下列问题：（1） 在电势不变的空间内，电场强度是否为零？ （2） 在电势为零处，电场强度是否一定为零？ （3） 在电场强度为零处，电势是否一定为零？ 答：（1）是 由d d l U E l=-可知，当电势处处相等时，d 0U =，E l =0实际例子：静电平衡的导体内。

（2）否电势为零处电势梯度d d U l不一定为零，所以E l 也不一定为零。

实际例子：电偶极子连线中点处。

（3）否如果E l 等于零，则电势梯度为零，但电势不一定为零。

实际例子：两个相同电荷连线中点处。

4-5 如图4-1所示，将两个完全相同的电容器串联起来，在与电源保持连接时，将一电介质板摩擦插入电容器C 2的两板间，试定性地描述C 1、C 2上的电量、电容、电压、及电场强度的变化。

答：插入电介质板后，C 2的增大，致使整个电路电容1/C=1/C 1+1/C 2增大，而总电压U 又没变，所以每个电容器所储存的电量q 1 = q 2增加。

由于无摩擦，这种增加的电量全部由电源提供。

C 1=ε0S/d 不变，而储存的电量增加时，U 1= q 1/C 增大，故U 2减小。

由U = Ed 可知E 2减小。

U 1增大而两极板距离d 不变，故E 1增大。

4-6 一空气电容器充电后切断电源，然后灌入煤油，问电容器的能量有何变化？如果在灌煤油时电容器一直与电源相连，能量又如何变化？答：电容器灌入煤油后，电容量增大，但极板上的电量没有改变，由C q W e 22=可知电容器的能量W e 会减少。

减少的那部分能量，由煤油分子在静电场极化过程中转化成煤油的内能。

如果灌煤油时，电容器一直与电源相连，由能量公式22CU W e =可知，C 增大而U 不变时，电容器的能量W e 增大。

这时电源向电容器充电，将电源的化学能转化为电容器的内能。

练习题4-1 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。

因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。

图4-2所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，图4-1其中的q 和l 均为已知，对图4-2中的P 点(O P 平行于正方形的一边)，证明当x l 时4043x pl E p πε≈其中，p=ql 称电偶极矩。

解：将左边和右边的电偶极子在P 点产生的场强分别称为E 左和E 右，则：()()3024l p E x πε=+左方向向下()()302 4l p E x πε=-右方向向上P点处的合场强为()()()()3223332200022232444ll l l x l p p pE E E x x x πεπεπε+=-=-=-+⎡⎤-⎣⎦左右∵2l x∴()4034pl E xπε=方向向上原题证毕。

4-2 一个均匀带电的细棒长为l ，带电总量为q ，证明，在棒的垂直平分线上离棒为a 处的电场强度为220421a l a q E +=πε解：棒的线电荷密度为q l ρ=。

如图4-3，对称地取距中点为x 处的电荷 d d d /q x q x l ρ==。

其d E 和d 'E 的水平方向的分量相互抵消，P 点的场强为d E 和d 'E 沿竖直向上分量之和：()()()122222032220 d 2d cos 2d 4d 2 E E q aa xaxaq xl a xθπεπε==++=+合棒在P 处的场强为()2232220d d 2 l l aq xE E l a xπε==+⎰⎰合将tan x a θ=代入上式，并考虑x 由0积分到2l 时，s i n θ由0变化到，后对E 积分可得：220421a l a q E +=πε4-3 一个半径为R 的带电圆盘，电荷面密度为σ，求： （1）圆盘轴线上距盘心为x 处的任一点P 的电场强度； （2）当R →∞时，P 点的电场强度为多少? （3）当x R 时，P 点的电场强度又为多少? 解：（1）取半径为r —r+d r 的圆环，如图4-4所示，因其上电荷对P 点的产生的场强垂直分量相互抵消，所以其对P 点场强为()()()()12222203232222200 d d d 4 2 d d 42SxE x rxrx r r x r r x rx rσθπεσπσπεε==++==++E cos整个圆盘的电荷在P 点的产生的场强为()()3212222200 d 122R x r r x E x rx R σσεε⎛⎫ ⎪==- ⎪++⎝⎭⎰（2）当R →∞时，可将带电圆盘看作无限大带电平面，因此P 点电场强度为2E σε'=（3）当x R 时，可将带电圆盘看作点电荷，因此P 点电场强度为：22220044RR E xxσπσπεε''==4-4 大多数生物细胞的细胞膜可以用两个分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。

在本题图4-5中，设半径为1R 和2R 的球壳上分别带有电荷1Q 和2Q ，求：σ图4-4（1）I 、II 、III 三个区域中的场强； （2）若1Q =－2Q 各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线 (即E －r 关系曲线)。

从这个结果，你可以对细胞膜的电场强度分布有个概略的了解。

解：（1）I ：以r 1﹤R 1为半径作球面高斯面，因面内无电荷，依1d i Siqε=∑⎰⎰E S 内可得：E 1= 0II ：以122R r R <<为半径作球面高斯面，面内的电荷为Q 1，依1d SQ ε=⎰⎰E S可得：122024Q E r πε=III ：以23R r <为半径作球面高斯面，面内的电荷为Q 1+Q 2，同理可得：E 3 =230214r Q Q πε+（2）根据上部分结果可得 I ： E 1= 0 II ：122024Q E r πε=III ：E 3= 0根据已知条件画出E r -关系曲线如图4-6所示4-5 实验表明，在靠近地面处有相当强的大气电场，电场强度方向垂直地面向下，大小约为-1100N C ⋅；在离地面1.5 km 高的地方，电场强度方向也是垂直地面向下的，大小约为-125N C ⋅。

（1）计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度；（2）若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球表面的电荷面密度； （3）已知地球的半径为6610m ⨯，地球表面的总电量为多少?图4-5解：（1）由已知可得，离地面高度为1.5km 的大气电场-1225N C E =⋅，地面的大气电场为-11100N C E =⋅。

从 1.5km 高处至地面作圆柱体高斯面，依题意得：120e qE S E S φε∑=-=得()012q E E S ε=-∑故()()01212313-38.8510751.5104.4310C m E E q q VhShερ----∑∑===⨯⨯=⨯=⨯⋅（2）靠近地球表面作球面高斯面∵10 E S S σ=∴()121021 1008.85108.910C m E S σ---==-⨯⨯=-⨯⋅（3）()()21065 8.9104610 4.010C q S σπ--==-⨯⨯⨯=-⨯∑4-6 随着温度的升高，一般物质依次表现为固态、液态和气态。

当温度继续升高时，气体中的大量分子将由于激烈碰撞而离解为电子和正离子。

这种主要由带电离子组成的状态为物质的第四态，处于该态的物质称等离子体。

如果气体放电时形成的等离子体圆柱内的体电荷分布有如下关系()()2222ra a r e +=ρρ其中，e ρ为电荷体密度，0ρ为圆柱轴线上的e ρ值，a 为常量，求电场强度分布。