立体几何常见题型归纳
考点1 概念辨析
例1、设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个说法：
①,//m n m n αα⊥⇒⊥；②//,//,m m αββγαγ⊥⇒⊥；③//,////m n m n αα⇒ ④,//αγβγαβ⊥⊥⇒，说法正确的序号是：_________________
例2、对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （ ） （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n
（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n
辨析：
（1）两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（ ） （2）在平面内射影是直线的图形一定是直线. （ ） （3）直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α.（ ）
（4）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （ ） （5）平行于同一直线的两个平面平行. （ ） （6）平行于同一个平面的两直线平行. （ ）
（7）直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （ ） （8）直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（ ）
（9）垂直于同一平面的两个平面平行. （ ） （10）垂直于同一直线的两个平面平行. （ ）
（11）垂直于同一平面的两条直线平行. （ ）
（12）若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （ ）
（13）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. （ ）（14）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱. （ ） 考点2 三视图
例1、下图是一个多面体的三视图，则其全面积为__________ 例2、如图，一个空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图都是面积为32
，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为__________ 例3、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），那么可得这个几何体的体积是_________
22
2 2 1
1 正视
左视
俯视（例3图）
C 1
B 1
A 1
C
B
A
例3、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
a 3 a 3 a 3 a 3
例4、一个五面体的三视图如图，正(主)视图与侧(左)视图都是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为________．
例3 例4 例5
例5、如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为1的正三角形，1111AA A B C ⊥面，正视图是长为2，宽为1的矩形,则该三棱柱的侧视图（或左视图）的面积为____________ 考点3 球
例1、在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆ 的面积分别为
22、3、6，则该三棱锥外接球的表面积_____________ 例2、正方体的内切球与其外接球的体积之比为________，正四面体外接球与内切球半径之比为________
例3、已知球面上的三个点A 、B 、C ，且AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，球半径R ＝15，则球心到平面ABC 的距离是_____________
例4、已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是____________
例5、如图所示，已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于____________
例6、表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
______________
例7、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是______________
图1
例8、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为__________ 考点4 平行与垂直
例1、如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题． （1）求证：MN//平面PBD ； （2）求证：AQ ⊥平面PBD ；
（3）求二面角P —DB —M 的正切值．
例2、如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到
1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．
（Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；
（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （Ⅲ）求三棱锥1A BCD -的体积．
例3、如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD ． 求证：（1）平面PAC ⊥平面PBD ；
（2）求PC 与平面PBD 所成的角；
例4、如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的正弦值； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．
A
B
C D
1
A
1
C 1
B。