6.若数列 {an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2),
则当 n≥2 时, {an} 的通项 an=
n! 2.
7 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
23
456
7 8 9 10
．．．．．．．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的
第3 个数为 n 2 n 6 ． 2
an=an-1+(n-1),
所以a2+a3+…+an
=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，
所以an=
(
n
1)n 2
+2=
n
2
n 2
4
.
(方法二)因为an+1-an=n， 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,
解: (1)当 n=1 时, a1=S1=-1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-5, 故 an=4n-5(nN*).
(2)当 n=1 时, a1=S1=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n-2,
故 an=
5, n=1, 6n-2, n≥2.
(3)当 n=1 时, a1=S1=1;当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=23n-1,
故 an=
1, n=1, 2∙3n-1, n≥2.
点评
本例的关键是应用an=
S1
(n=1)
Sn-Sn-1 (n≥2)求
数列的通项，特别要注意验证a1的值是否
满足“n≥2”的通项公式；同时认清
“an+1-an=d（常数）(n≥2)”与“an-an-1=d （d为常数，n≥2）”的细微差别.
题型三 利用递推公式求数列的通项
注: 递推公式按项数：有穷数列和无穷数列；
2.按 an 的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；
3.按 |an| 是否有界：有界数列和无界数列.
三、数列的前 n 项和
n
Sn=a1+a2+…+an= k=1ak;
an=
S1
(n=1),
Sn-Sn-1 (n≥2).
注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关 数列的 问题.
二、数列的表示及分类
1 数列的通项公式:数列{an}的第n项an与项数n之 间的关系可以用一个公式an=f(n) 来表示，那么
an= f(n)叫数列{an}的通项公式。
注意：通项公式有时并不唯一
2 数列的递推公式：已知数列{an}的第一项(或前 几项)，且任一项an与它的前一项an-1（或前n-1项） 之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就 叫做这个数列的递推公式。
a2 a1
a3 a2
…
aann-1.
【双基自测】
B
A
D
4已知数列{an}对任意的p、q∈N+满足ap+q=ap+aq,
且a2= －6,那么a10=( C )
A － 165 B －33 C － 30 D － 21
1 5 在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+ n ）则
an=（ A ） A 2+lnn B 2+nlnn C 2+(n-1)lnn D 1+n+lnn
8
(－∞，3）
【典例分析】
题型一 求数列的通项公式
例1.根据下列数列的前几项的值, 写出数列的一个通项公式:
(1) (2)
-1,
3 2
,
-
1 3
,
43,
5, 55, 555, ….
-
15an, =3655,…5n …个; 5=a59n=(9(9-n91…)个n 9)=2+59((-1n10)nn-1)
四、数列的单调性
设 D 是由连续的正整数构成的集合, 若对于 D 中的每一个 n 都有 an+1>an(或 an+1<an), 则称数列 {an} 在 D 内单调递增(或 单调递减).
方法：作差、作商、函数求导.
五、重要变换
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);
an=a1
( 一）数列的表示
1.列举法 2.图象法 3.通项公式法
若数列的每一项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个 公式来表达, 即 an=f(n), 则 an=f(n) 叫做数列的通项公式.
4.递推公式法
如果已知数列的第一项(或前几项), 且任一项与它的前一 项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示, 这个公式就叫做 数列的递推公式.
(3) -1, 7, -13, 19,…;
an=(-1)n(6n-5)
(4) 7, 77, 777, 7777,…;
(5)
2 3
,
4 15
,
6 35
,
8 63
,
10 99
,…;
(6) 5, 0, -5, 0, 5, 0, -5, 0,….
an=
7 9
(10n-1)
an=
2n (2n-1)(2n+1)
an=5sin n2
点评 已知数列的前n项，写出数列的通项公式，主要从 以下几个方面来考虑： (1)符号用(-1)n与(-1)n+1(或(-1)n-1)来调节，这是因 为n和n+1奇偶交错.
(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项， 要充分借助分子、分母的关系.
(3)对于比较复杂的通项公式，要借助等差数列、 等比数列（后面将学到）和其他方法来解决.
(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循， 主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、 归纳、转化（转化为等差或等比数列）等方法.
题型二 由sn推出通项公式
例2.已知下面各数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的公式, 求 {an} 的通 项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n2+n+1; (3)Sn=3n-2.
数列概念及通项公 式
【自主学习】
一、数列的概念
1 数列:按一定次序排列的一列数叫数列，记
{ a } 为
n ，其中an是数 列{an}的第 n 项
2 数列与函数：数列是一个定义域为正整数集N+
（或它的有限子集）{1，2，3，…，n}的函数，
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数
值，即an=f(n) (n∈N+),其图象是无限个或有限 个孤立的点.