点评 已知数列的递推关系，求数
列的通项公式的方法大致分为两类： 一是根据前几项的特点归纳猜想出 an的通项公式，然后用数学归纳法 证明；二是将已知递推关系整理， 变形为可用“累加法”“累乘法” 或新的等差数列、等比数列等，再 求其通项.
方法提炼
数列通项公式的求法：
①观察分析法；
②公式法:an=
S1 Sn-Sn-1
题型二 利用数列前n项和公式求通项
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，分
别求其通项公式.
(1)Sn=3n-2；
(2)Sn=
1 8
(an+2)2(an>0).
(1)当n=1时，a1=S1=1; 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）
=2·3n-1.
由于a1=1不适合上式，因此数列{an}的通 项公式为
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,
an=an-1+(n-1),
所以a2+a3+…+an
=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，
所以an=
(
n
1)n 2
+2=
n
2
n 2
4
.
(方法二)因为an+1-an=n， 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月1日星期 一2021/3/12021/3/12021/3/1
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/12021/3/1Marc h 1, 2021
2.数列的表示方法
数列的表示方法有：列举法、图示法、 解析法（用通项公式表示）和递推法 （用递推关系表示）.
3.数列分类
(1) 按 照 数 列 的 项 数 分 ④ 有穷数列 、 无穷数列 .
(2)按照任何一项的绝对值是否超过某 一正常数分:⑤ 有界数列 、 无界数列 .
(3)从函数单调性角度考虑分：递增数 列、⑥ 递减数列、常数列、⑦ 摆动数列 .
(2)分式形式的数列，分子找通项， 分母找通项，要充分借助分子、分母的 关系.
(3)对于比较复杂的通项公式，要借 助等差数列、等比数列（后面将学到） 和其他方法来解决.
(4) 此 类 问 题 虽 无 固 定 模 式 ， 但 也 有 其规律可循，主要靠观察（观察规律）、 比较（比较已知的数列）、归纳、转化 （转化为等差或等比数列）等方法.
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/12021/3/12021/3/1M ar-211- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/12021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021

(n=1) (n≥２);
③转化成等差、等比数列；
④迭加、累乘法（见第34讲）.
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021 10:23:54 AM
1
（n=1）
an= 2·3n-1 （n∈N*，且n≥2）.
(2)当n=1时，a1=S1=
1 8
(a1+2)2，解得a1=2.
当n≥2时,Sn=Sn-Sn-1=
1 8
(an+2)2-
1 8
(an-1+2)2,
所以(an-2)2-(an-1+2)2=0，
所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0，
1
5
=1 ，
7
1
a5=
2
7
1
=1
9
7
1
，a6=
2
9
1
=1
11
.
9
5.已知数列{an}(n∈N*)满足 an+1=an-t (an≥t) t+2-an (an<t),
且t<a1<t+1,其中t>2，若an+k=an(k∈N*)，则实 数k的最小值是 4 .
因为t<a1<t+1，所以a2=a1-t<1<t， 故a3=t+2-a2=2t+2-a1>t, a4=a3-t=t+2-a1<t，a5=t+2-a4=a1， 所以最小正周期为4，故k的最小值为4.
2
2
2
(4)1,0,-1,0,1,0,-1,0,….
(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.
(2)an=2n+1.
n2
(3)an= 2 (4)an=sin
. n 2
.
点评 已知数列的前n项，写出数列的通
项公式，主要从以下几个方面来考虑：
(1)符号用(-1)n与(-1)n+1(或(-1)n-1)来 调节，这是因为n和n+1奇偶交错.
又an>0，所以an-an-1=4，
可知{an}为等差数列，公差为4,
所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·4=4n-2,
a1=2也适合上式，故an=4n-2.
点评
本例的关键是应用an=
S1
(n=1)
Sn-Sn-1 (n≥2)求
数列的通项，特别要注意验证a1的值是否
满 足 “ n≥2” 的 通 项 公 式 ； 同 时 认 清
第32讲
数列的概念与通项公式
知识体系
1.了解数列的概念和几种简单的表 示方法（列表、图象、通项公式）.
2.了解数列是自变量为正整数的一 类函数.
3.会用观察法、递推法等求数列的 通项公式.
1.以下关于数列的叙述： ①数列是以正整数集为定义域的函数； ②数列都有通项，且是惟一的； ③数列只能用通项公式的方法来表示； ④既不是递增也不是递减的数列,则为常数列; ⑤数列1,1,2,3,5,8与数列8,5,3,2,1,1是同一数列; ⑥是对以所3有为的周n期∈的N*周，期都数有列an.+3=an，则数列{an} 其中正确的结论有( B )
2.数列-1,7,-13,19，…的一个通项公式 是an= (-1)n(6n-5) .
符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示， 其各项的绝对值的排列规律为：后面的 数的绝对值总比它前面数的绝对值大6， 故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
3.如果数列{an}的前n项的和Sn=n2，那么 这个数列的通项公式是 an=2n-1 .
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/1
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =(n-1)+(n-2)+…+1+2 = ( n 1 ) n +2
2
= n2 n 4 .
2
a (所 相2)乘a(方2=得法2aa11 2一·,aa)3因3·=…为2a ·22 aan,n=a=42a =11 22a
n n
3 3
·a 2
1 1
,
,…,an=
“an+1-an=d（常数）(n≥2)”与“an-an-1=d （d为常数，n≥2）”的细微差别.
题型三 利用递推公式求数列的通项
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
4.数列通项an与前n项和Sn的关系
(1)Sn=a1+a2+a3+…+an；
(2)an=⑧
S1(n=1) .
Sn-Sn-1(n≥2)
典例精讲
题型一 观察法写数列的通项公式
例1 求下列数列的一个通项公式：
(1)1,-1,1,-1,…;
(2)3,5,9,17,33,…;
(31 ) ,29, ,8,2 5 ,…;
a1=S1=1，所以a1=1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1. 经检验，a1符合上式，所以an=2n-1.
4.在数列{an}中，若an+1=
则a6=
1 11
.
an 2an 1
，a1=1，
因为an+1=
2
a an
n
1
1
1
a2=
2
a a1
1
1
=1
3
,
a3=
2
3
1
3
=1
5
，a4=
2
5
A.0个 B.1个 C.3个 D.5个
本题是考查数列及相关概念的题， 在解题过程中，每一个叙述都有可能判断错 误，故需一一给予剖析：命题①，数列可以 看作是一个定义域为正整数集N+（或它的 有限子集{1，2，3，…，n})的函数；命题 ②，不是每一个数列都有通项，有的数列不 存在通项；另外，有通项公式的数列，通项 公式也不一定惟一；命题③，数列除了用通 项公式表示外还可以用列表法和图象法表示； 命题④，数列存在递增数列、递减数列、常 数数列，还有摆动数列；命题⑤，数列是有 序的；⑥正确.