⎛σ ⎞ σ 11 = + ⎜ ⎟ + τ 22 2 ⎝2⎠
2 2
τ σ
T
σ
M
σ 22 = 0
⎛σ ⎞ σ 33 = − ⎜ ⎟ + τ 22 2 ⎝2⎠
2 2
圆轴弯扭组合 弯扭组合危险点 危险点
WPP = 2W
σ
1 1 3 3 W = π d WPP = π d 33 32 16 1 = M 2 +T 2 W
24
y
L=200 L=200 x
M = Pa
T = PL cosθ
A-A 截面危险点的第三强度 A-A 截面危险点的第三强度
等效应力： 等效应力：
P
θ
A a =100 d = 60 A x
1 σ eq3 = M 22 + T 22 eq3 W
P = a 22 + ( L cosθ ) 22 W
z
例 图中曲柄上的作用力保 持 10 kN 不变，但角度 θ 可 变。试求 θ 为何值时对 A-A A-A 截面最为不利，并求相应的 第三强度相当应力。
σ 11
σb → b
σb b
n
= [σ ] [ ]
第一强度理论相当应力
σ eq1 = σ 11 ≤ [σ ] eq1
7
第二强度准则
破坏的原因是第一主应变超过许用应变。
1 ε 1 = [σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )] ( ) E 第二强度理论相当应力
[σ ] [ ] εb = → = b E nE E
σ eq3 = σ 11 − σ 33 ≤ [σ ] eq3
第三强度理论相当应力
第三强度准则相当应力又称 Tresca 应力。
9
第四强度准则
破坏的原因是形状改变比能超过许用值。 1 +ν ϕ = (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 6E 2 1 +ν 2 1 +ν ⎛ σ S ⎞ 1 +ν ϕSD = σS → [σ ]2 ⎜ ⎟ = 3E 3E ⎝ n ⎠ 3E
26
P1 1 y x
P11 = 15 kN P22 = 5 kN G = 5 kN
D = 300 a = 300 b = 400
A z a y P1+P2 1 2 RCz Cz z C A B RDz Dz P2 2 G b P1 1
B P2 2 a
[σ ] = 150 MPa
G
例 根据第四强度理论设计圆 轴 AB 段的直径。
选择强度准则首先考虑材料性质，同时也需考虑应 力状态。 在三向等拉的应力状 态下，塑性材料也会出现 脆性断裂现象。 在三向等压的应力状 态下，脆性材料也会出现 塑性屈服现象。
11
3. 强度准则的应用 单向应力状态
σ
σ 11 = σ , σ 22 = 0 , σ 33 = 0
拉压杆各点
弯曲梁危险点
拉弯组合危险点
σ eq3 = σ + 4τ
2
2
σ eq3
σ eq4 =
1 3 M2 + T2 W 4
σ eq4 = σ 2 + 3τ 2
注意 上两式只适合于圆轴弯扭组合。
17
3. 强度准则的应用 薄壁杆件弯曲危险点分析
M σ= y I
FSSS ′ τ= bI
σ τ
正应力最大点 切应力最大点
τ′
两种应力较大点
σ′
σb b
σb b
σ eq2 = σ 11 −ν (σ 22 + σ 33 ) ≤ [σ ] eq2
第一、第二强度准则属于脆性断裂强度准则。
8
第三强度准则
破坏的原因是最大切应力超过许用切应力。
1 τ max = (σ 11 − σ 33 ) ( ) max 2
σ S [σ ] 1 [ ] s τ Ss = σ S → = s 2 2n 2
B P2 2 a
[σ ] = 150 MPa
G
例 根据第四强度理论设计圆 轴 AB 段的直径。
分析 AB 区段内发生了 xz 平面内的弯曲和 xy 平面内的弯曲， 平面内的弯曲和 先计算这两个平面内的弯矩，再求其组合弯矩（几何和）。
AB 区段内还发生了扭转变形。因此该区段的变形属于弯
扭组合。 由于 AB 区段内扭矩是常数，因此危险截面是组合弯矩最 大的截面。
σ eq3 = σ 22 + 4τ 22 ≤ [σ ] eq3
纯剪切是这一状态的特例： σ = 0 纯剪切是这一状态的特例： 故有：
2τ ≤ [σ ]
τ
σ
τ
故有τ 的最大允许值为： [τ ] = [σ ] 2 同理，根据第四强度理论，可得 故对塑性材料，可取 故对塑性材料，可取
[τ ] = [σ ] 3 = 0.577 [σ ]
第九章 强度准则
1
Chapter Nine
Strength Criterions
2
本章基本要求 9.1 四个常用的强度准则 9.2 薄壁容器的强度分析 本章作业 本章内容小结
4 5 45 57 58
3
本 章 基 本 要 求
了解强度准则的意义，掌握主要的强度准 则的定义，熟悉其相当应力的表达式，了解其 应用范围。 熟练掌握杆件组合变形中危险截面和危险 点的分析方法，熟悉危险点相当应力的计算。 掌握承受内压的薄壁圆筒的应力计算方法。
xz 平面内的弯曲 平面内的弯曲
∑m
D x
C C
=0 ( P11 + P22 )a = 6 kN 2a + b =0
RD zz = D
∑m
D D
( P11 + P22 )(a + b) RC zz = = 14 kN C 2a &yy = RC zza = 4.2 kN ⋅ m A C M B yy = RD zza = 1.8 kN ⋅ m B D
注意 有必要时，应对上述三种危险点都进行强度校核。 注意 上面关于强度准则的讨论对象都是双向应力状态。
18
第三、第四强度准则的应用
相当应力 应力状态 构件与变形
σ eq3 = σ 11 − σ 33 eq3
σ eq4 = [(⋅) + (⋅) + (⋅) ] 2 eq4
2 2 2 2 2 2
无限制
4
9.1 四个常用的强度准则
1. 强度准则 (strenth criterion) 的概念 (strenth
考虑应力状态的可比性
10 3 12 10 5 10
如何比较这两个应力状态？
主应力
10 15 20
又如何比较这两个应力状态？
主应力的数性函数
5
9.1 四个常用的强度准则
1. 强度准则 (strenth criterion) 的概念 (strenth
故 θ 取零或 π 时最为不利。 取零或 P σ eq3 = a 22 + L22 eq3 W
32 P 22 22 = a + L = 105.4 MPa 3 3 πd
25
P1 1 y x
P11 = 15 kN P22 = 5 kN G = 5 kN
D = 300 a = 300 b = 400
A z a P2 2 G b P1 1
(qL )
2 2 2 2
3 ⎛ 1 22 ⎞ 8 19qL22 + ⎜ qL ⎟ = ≤ [σ ] 3 3 4⎝ 2 πd ⎠ ⎞ ⎟ ⎠
13 13
⎛ 8 19qL 故轴径 d 应满足 d ≥ ⎜ 故轴径 ⎝ π[σ ]
2 2
21
例 试分别根据第三、第四强度理论，确定塑性材料在纯剪 切中的许用切应力与许用正应力之间的关系。 根据第三强度理论，对于如图应力状态，有
2
P ≤ 6.69 kN
20
y d
q
A z
例 已知材料许用应力为[σ ]，根据 第四强度理论设计AB 段的轴径。 第四强度理论设计AB
x
L
B
L
AB 段承受弯扭组合变形 扭矩
最大弯矩
M = qL22
1 22 T = qL 2
2 2
1 3 22 32 2 2 σ= M + T = π d 33 W 4
B
A z a y P1+P2 1 2 C RCz Cz z A B 1.8 RDz Dz P2 2 G b P1 1
圆轴扭转危险点
横力弯曲中性层点 （该点可能不是危险点）
σ eq4 = [(⋅) 22 + (⋅) 22 + (⋅) 22 ] 2 eq4
= 3τ
14
3. 强度准则的应用 单向应力与纯剪应力的合成
⎛σ ⎞ σ 11 = + ⎜ ⎟ + τ 22 2 ⎝2⎠
2 2
τ σ
T
σ
M
弯扭组合危险点
T FN N
D
[
]
第四强度理论相当应力 1 σ eq4 = [(σ 11 − σ 22 ) 22 + (σ 22 − σ 33) 22 + (σ 33 − σ 11) 22 ] ≤ [σ ] eq4 2 第四强度准则相当应力又称 von Mises 应力。
第三、第四强度准则属于塑性屈服强度准则。
10
强度准则的适用性
σ eq4 = [(⋅) 22 + (⋅) 22 + (⋅) 22 ] 2 eq4
=σ
σ ≤ [σ ]
结论 对于单向应力状态，四种强度准则的相当应力是相等的。
13
3. 强度准则的应用 纯剪应力状态
T
τ