P (Xa)0
命题 连续r.v.取任一常数的概率为零
强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生)
Ch2-53
对于连续型 r.v. X
P(aXb) P (aX b )
P (aX b )
f ( x)
P (aX b )
b
0. 08 0. 06
a f (x)dx
0. 04
在 f ( x ) 的连续点处，
f(x)F (x)
f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率
积分
x
Ch2-51
F (x) f(t)d t x

不是Cauchy 积分，而是Lesbesgue 意义下
的积分，所得的变上限的函数是绝对连续
的，因此几乎处处可导
Ch2-60
作业 P83 习题二 16 18
Ch2-61
常见的连续性随机变量的分布
(1) 均匀分布 若 X 的 d.f. 为 f(x)b1a, axb 0, 其他
则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称 X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作
X~U(a,b)
Ch2-62
损坏的个数为
Y~
B

3,
1 3

P(Y1)P3(1)C3 11 33 229 4
例2 设 f(x)(a2xb xc)1 Ch2-58 为使 f (x) 成为某 r.v. X 在 (,)上的
d.f.系数 a, b , c 必须且只需满足何条件？
F(b)F(a)
0. 02
-1 0
-5
a
5
b
x
Ch2-54
P ( X b ) P ( X b ) F ( b ) P ( X a ) P ( X a ) 1 F ( a )
f ( x)
0. 08 0. 06 0. 04 0. 02
-1 0
-5
a
5
x
Ch2-55
X 的分布函数为
0,

x
F(x) f(t)dt
x

b

a a
,
1
x a, a x b,
xb
f ( x)
Ch2-63
a
b
x
F( x)
a
b
x
Ch2-64
d
(c,d)(a,b), P(cXd)
1dx
d
c
cba b a
即 X 落在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间的
其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值
事实上 (Xa) ( a x X a ) x0
0 P ( X a ) P ( a x X a ) aax f(x)dx a
0 P (X a ) lx i 0m a xf(x )d x0
概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
比. 这正是几何概型的情形.
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从
U1210k,1210k

的
r.v.
随机变量
Ch2-65
例3 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精 度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产 生的随机误差X 的 d.f. 并计算误差的绝对 值不超过0.004秒的概率.
解
(1)
令

c
f(x)dx100x02dx1
Ch2-56
c = 1000
(2) P(X171 05 0 0X0 20)00
P (X 17 ,105 0 X 02 00 )P0 (10 50X 020)0
P(15 0X017)0P 0(150X 020)00
Ch2-48
§2.3 连续型随机变量
连续型 r.v.的概念
定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
x
F (x) f(t)d t x X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简记为d.f.
解 由 f(x ) 0 h (x ) a2 x b c x 0 h ( x ) 2 a b x ,h ( x ) 2 a
当 a 0 h (x ) 2 a 0 h (x )有最小值 hm(ixn)cb2/4a
当且仅当 cb2/4a0时
Ch2-59
Ch2-49
分布函数与密度函数 几何意义
f ( x)
F( x )
0. 08 0. 06 0. 04 0. 02
y f(x)
-1 0
-5
5
x
x
Ch2-50
p.d.f. f ( x )的性质
f(x)0


f(x)dxF() 1
常利用这两个性质检验一个函数能
否作为连续性 r.v.的 d.f.
17001000
20001000
1500
x2
dx
1500 x2 d x
4 1 240.4706. 51 6 51
Ch2-57
(3) 设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时
P (A )P (0X 15 )0 1105000 100x02 0d0x13
设在使用的最初1500小时三个电子管中
h(x)a2xb xc0
另外由
f(x)d x (a2 x b c x ) 1 d x2 1


4 a b c 2
得
4a cb242.
所以系数 a, b , c 必须且只需满足下列条件
a 0 , cb2/4a0, 4a cb242.
可省略
F (x 0 ) lx i 0m F (x 0x x ) F (x 0 )
lim P (x0Xx0x) f(x0)
x 0
x
f(x 0 ) x P (x 0 X x 0 x )
密度长度
线段质量
Ch2-52
注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0
例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连
续r.v., 其 d.f.为
f
(x)

c x2
,
0,
(1) 求常数 c
x 1000 其他
(2) 计算 P(X171 05 0 0X0 20)00
(3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个 电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的 最初1500小时只有一个损坏的概率.