基本不等式
1．函数y＝x＋1
x(x＞0)的值域为()．
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b
ab
≤2；③x2＋
1
x2＋1
≥1，其中正确的个数是
()．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．
A.1
2B．1 C．2 D．4
4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋
1
x－2
(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．
A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4
5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1
t的最小值为________．利用基本不等式求最值
【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1
x＋
1
y的最小值为________；
(2)当x＞0时，则f(x)＝
2x
x2＋1
的最大值为________．
【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋
1
x－1
的最小值为________．
(2)已知0＜x＜2
5，则y＝2x－5x
2的最大值为________．
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
利用基本不等式证明不等式
【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc
a＋
ca
b＋
ab
c≥a＋b＋c.
【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.
利用基本不等式解决恒成立问题
【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．
考向三 利用基本不等式解实际问题
【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋
1
a (a －
b )
的最小值是( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
双基自测
1.答案 C
2．解析 ①②不正确，③正确，x 2
＋1x 2＋1＝(x 2
＋1)＋1x 2＋1
－1≥2－1＝1.答案 B
3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1
2.答案 A
4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1
x －2
＋2＝4，当且
仅当x －2＝1
x －2
(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C
5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1
t －4≥2－4＝－2，
当且仅当t ＝1时取等号．答案 －
2
【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，
∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x
y 时，取等号．
(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1
＝2x ＋1x
≤22＝1，当且仅当x ＝1
x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋
22 (2)1
【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1
x －1
＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等
号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜2
5
，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－
5x )≤⎝
⎛⎭
⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤1
5，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8
x ＝1，
∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4y x ＋x y ≥10＋2×2×
4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x
y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，
∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)1
5 (3)18
【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab
c
＝
2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即
bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .
【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c
b ＋a ＋b ＋
c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时，取等号．
解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x
x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为
x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x
＝1
5，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取
值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
15，＋∞
【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10
【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋16x ＋5 800(0＜
x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，
当且仅当x ＝16
x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低． 【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2
b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝1，b a ＝2a b
，即⎩⎨⎧
a ＝2－1，
b ＝2－2时，1a ＋2
b 的最小值为3＋2 2.
【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1
a (a －
b )
＋
ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab a (a －b )＝1a (a －b )
且ab ＝
1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。