基本不等式专题训练一．填空题（共20小题）1．（2014•浙江模拟）若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为_________．2．（2014•南通二模）设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为_________．3．（2014•青岛一模）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为_________．4．（2014•闵行区二模）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为_________．5．（2014•温州二模）已知a＞1，ab=2a+b，则（a+1）（b+2）的最小值是_________．6．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为_________．7．（2014•江苏模拟）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是_________．8．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是_________．9．（2014•天津模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为_________．10．（2014•闸北区一模）设a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式恒成立的有_________．①ab≤1；②；③a2+b2≥2．11．（2014•岳阳二模）若a，b，c∈R+，且++=1，则a+2b+3c的最小值为_________．12．（2014•上海模拟）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是_________．13．（2014•和平区模拟）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是_________．14．（2014•潍坊模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为_________．15．（2014•瑞安市一模）若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则S=2﹣（4a2+b2）的最大值是_________．16．（2014•新昌县二模）若正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则x+y的最小值是_________．17．（2014•黄冈模拟）设正实数a，b，c满足a+2b+c=1，则+的最小值是_________．18．（2014•镇江二模）已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为_________．19．（2013•镇江一模）已知x，y为正数，则的最大值为_________．20．（2012•宁国市模拟）_________．基本不等式专题训练参考答案与试题解析一．填空题（共20小题）1．（2014•浙江模拟）若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：将x+3y=5xy转化为=1，再由x+y=（x+y），展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．∴x+y=（x+y）≥．当且仅当，即时取等号，此时结合x+3y=5xy，得∴x+y≥，可知x+y的最小值为．故答案为．点评：本题为2012年浙江文科试题第（9）题的一个变式．容易做错，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．2．（2014•南通二模）设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为﹣．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．再利用三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式即可得出．法2：由a+b+c≥a+b+a2+b2，通过配方变形为+即可得出．解答：解：法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．则a+b+c≥rcosθ+rsinθ+r2==，当且仅当取等号．∴a+b+c的最小值为﹣．故答案为：．（0≤r≤c≤1）．法2：∵实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，∴a+b+c≥a+b+a2+b2=+≥﹣，当a=b=，c=时取等号，∴a+b+c的最小值为﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、配方法，属于中档题．3．（2014•青岛一模）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为9．考点：基本不等式．专题：创新题型．分析：已知条件提供了和与积的关系，要求的是积的范围，可以考虑将和转化为积，再求积的范围；也可以一元二次方程的韦达定理去研究．解答：解：∵x，y均为正实数，且xy=x+y+3∴xy=x+y+3≥2+3 （当x=y时取等号）即（）2﹣2﹣3≥0∴（+1）（﹣3）≥0∵x，y均为正实数∴+1＞0∴﹣3≥0 即xy≥9故xy的最小值为9．点评：本题主要是用基本不等式解题，关键在于化归转化思想的运用．本题还可以尝试消元利用函数求最值．4．（2014•闵行区二模）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，可知：16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．解答：解：∵不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，∴16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．则f（x）=a+4+≥a+4+=a+4+4．当且仅当取等号．∴，解得a=4．因此正实数a的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了恒成立问题的等价转化、基本不等式的应用，属于中档题．5．（2014•温州二模）已知a＞1，ab=2a+b，则（a+1）（b+2）的最小值是18．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由a＞1，ab=2a+b，可得b≠2，，b＞2．代入（a+1）（b+2）=，变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞1，ab=2a+b，∴b≠2，∴，解得b＞2．∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2===2（b﹣2）++10+10=18，当且仅当b=4时取等号．因此（a+1）（b+2）的最小值是18．故答案为：18．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于中档题．6．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴∴﹣+===，当b=时，取得最小值为﹣2．故答案为：﹣2点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．7．（2014•江苏模拟）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．8．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x，y∈R*且+=1，可得（y＞2），代入并利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x，y∈R*且+=1，∴（y＞2）∴xy=y==+4=8，当且仅当y=4（x=2）时取等号．∴xy的最小值是8．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．9．（2014•天津模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为1．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，可得z=x2﹣3xy+4y2．于是==，利用基本不等式即可得到最大值，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．于是+﹣==，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2．∴===1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．∴+﹣==≤1，当且仅当y=1时取等号，即+﹣的最大值是1．故答案为1．点评：熟练掌握基本不等式的性质和二次函数的单调性是解题的关键．10．（2014•闸北区一模）设a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式恒成立的有①③．①ab≤1；②；③a2+b2≥2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质逐一进行判定即可判断出答案．解答：解：∵a＞0，b＞0，a+b=2，∴a+b=2≥2，即ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，故①正确；∵（+）2=a+b+2=2+2≤4，当且仅当a=b=1时取等号，∴+≤2，故②不正确；∵4=（a+b）2=a2+b2+2ab≤a2+b2+2，当且仅当a=b=1时取等号，∴a2+b2≥2，故③正确，∴不等式恒成立的有①③．故答案为：①③．点评：本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均值不等式的合理运用．属于基础题．11．（2014•岳阳二模）若a，b，c∈R+，且++=1，则a+2b+3c的最小值为9．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘1法”和均值不等式即可得出．解答：解：∵a，b，c∈R+，且++=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）=9，当且仅当a=2b=3c=3时取等号．∴a+2b+3c的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了“乘1法”和均值不等式，属于基础题．12．（2014•上海模拟）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：原不等式恒成立可化为xy≥恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥恒成立，解关于a的不等式可得．解答：解：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，变形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy=x+2y+4≥4+2，即2﹣•﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，故答案为：点评：本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题．13．（2014•和平区模拟）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞b＞c＞0，∴2a2++﹣10ac+25c2==+（a﹣5c）2≥+0=4．当且仅当a=2b=5c=时取等号．因此2a2++﹣10ac+25c2的最小值是4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．14．（2014•潍坊模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为2．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．15．（2014•瑞安市一模）若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则S=2﹣（4a2+b2）的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用，可得，，即可得出．解答：解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，∴由，可得，，∴S=2﹣（4a2+b2）=，当且仅当b=2a=时取等号．∴S的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式及其变形应用，属于基础题．16．（2014•新昌县二模）若正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则x+y的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把x，y看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到z的取值范围，求出x+y的最小值．解答：解：∵x+y+z=4，∴x+y=4﹣z∵xy+yz+zx=5∴xy=5﹣yz﹣xz=5﹣z（x+y）=5﹣z（4﹣z）=z2﹣4z+5由韦达定理知：xy是一元二次方程t2﹣（4﹣z）t+（z2﹣4z+5）=0的两实根，则判别式△=（4﹣z）2﹣4（5﹣4z+z2）≥0，化简得：（z﹣2）（3z﹣2）≤0，又x，y，z为正实数∴0＜z≤，∴z的最大值是．x+y的最小值是4﹣=．故答案为：．点评：此题考查了最值问题．解此题的关键是得到关于z的一元二次方程，利用判别式求解．此题难度较大，解题时要注意细心．17．（2014•黄冈模拟）设正实数a，b，c满足a+2b+c=1，则+的最小值是7．考点：基本不等式．专题：导数的综合应用．分析：通过代换转化为利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．解答：解：∵正实数a，b，c满足a+2b+c=1，令a+b=x＞0，b+c=y＞0，且x+y=1．∴+=，由x+y=1可得y=1﹣x．∴==f（x）．（0＜x＜1）∴f′（x）=﹣==，令f′（x）=0，解得x=．当时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．因此当x=时，函数f（x）取得最小值，==4+3=7．∴+的最小值是7．故答案为：7．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值和转化的方法，属于难题．18．（2014•镇江二模）已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为．考点：基本不等式．专题：导数的综合应用；直线与圆．分析：把原式化简可得，利用可行域和斜率计算公式可得的取值范围，再利用导数即可得出最大值．解答：解：由x，y满足2≤y≤4﹣x，x≥1，画出可行域如图所示．则A（2，2），B（1，3）．==，令k=，则k表示可行域内的任意点Q（x，y）与点P（﹣1，1）的斜率．而k PA=，，∴，令f（k）=k+，则≤0．∴函数f（k）单调递减，因此当k=时，f（k）取得最大值，．故答案为：．点评：本题综合考查了线性规划的可行域和斜率计算公式、利用导数求函数最大值等基础知识与\基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．19．（2013•镇江一模）已知x，y为正数，则的最大值为．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0，从而有==，利用基本不等式可求解答：解：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0∴==当且仅当即a=b时取等号即最大值为故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是利用换元法配凑基本不等式的应用条件20．（2012•宁国市模拟）4．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据题意，由对数的性质可得，xy=10且x、y＞0，对于+，由基本不等式变形计算可得答案．解答：解：根据题意，lgx+lgy=1⇒lgxy=1，则xy=10且x、y＞0，对于+，由x、y＞0，，可得、＞0，则+≥2=2=4，即+的最小值为4，故答案为4．点评：本题考查基本不等式的运用，注意由对数的性质得到x、y均大于0，进而得到+符合基本不等式使用的条件．。