数学 基本不等式
[基础题组练]
1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab
D.b a ＋a b ≥2
2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1
xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3
2的最小值为( )
A ．0 B.12 C ．1
D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12
D ．16
5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．
7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．
8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．
[综合题组练]
1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1
b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18
D ．24
2．不等式x 2
＋x <a b ＋b
a 对任意a ，
b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )
A ．(－2，0)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(－2，1)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1
b ＋3的最小值为
________．
【参考答案】
[基础题组练]
1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab
D.b a ＋a b
≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．
对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b
≥2
b a ·a
b
＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1
xy ≥M 恒成立，则M 的最大
值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝22
4
＝1，
所以1
xy ≥1；
又1
xy
≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.
3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3
2的最小值为( )
A ．0 B.12 C ．1
D.32
解析：选A.y ＝x ＋
22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋1
2
－2≥2
⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋
1
2
－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12
，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12
D ．16
解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1
x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝y
x
，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.
5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．
解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝3
2时取等号． 答案：98
6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．
解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600
x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900
x
·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.
答案：30
7．函数y ＝x 2x ＋1
(x >－1)的最小值为________．
解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1
x ＋1－2，x >－1，
所以y ≥21－2＝0，
当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：0
8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2
y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2
8x ·2y ＝8xy
. 得xy ≥64，
当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.
(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y ＝1，
则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫
8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y
x
≥10＋2
2x y ·8y
x
＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.
[综合题组练]
1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1
b ，则3a ＋81b 的最小值为( )
A ．6
B ．9
C ．18
D ．24
解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1
b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋
81b ≥2
3a ·34b ＝2
3a ＋4b ≥2
32
a ·4b
＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的
最小值为18.故选C.
2．不等式x 2＋x <a b ＋b
a 对任意a ，
b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )
A ．(－2，0)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(－2，1)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b
a
对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋
x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·b
a
＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．
3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．
解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22
＝2t
＋t 2
8.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.
答案：62－8
4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则
1a ＋1＋1b ＋3
的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以
1a ＋1＋1b ＋3＝18
[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18
(2＋2)＝1
2，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3
的最小值为1
2.
答案：1
2。