1.5全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(√)
(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(√)
(3)全称量词命题一定含有全称量词．( ×)
题型1全称量词命题与存在量词命题的判断
2．下列命题中全称量词命题的个数是(C)
①任意一个自然数都是正整数；②有的矩形是正方形；③三角形的内角和是180°.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①③是全称量词命题．
3．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为__∃x<0，使(1＋x)(1－9x)>0__.
题型2全称量词命题与存在量词命题真假判断
4．下列命题中，是真命题的是(D)
A．∀x∈R，x2>0
B．∀x∈R，x2＋2x>0
C．∃x∈R，x＋1<0
D．∃x∈R，x(x－1)＝6
解析：∀x∈R，x2≥0，故排除A；取x＝0，则x2＋2x＝0，故排除B；因为x＋1≥0，故排除C；取x＝－2，则x(x－1)＝6，故D正确．
5．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(D)
A．对任意的a，b∈R都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．有的菱形的两条对角线相等
C．∃x∈R，x2＝x
D．平行四边形的一组对边平行且相等
解析：A是假命题；B，C是存在量词命题．
6．下列命题中，既是真命题又是存在量词命题的是(A)
A．存在一个实数a，使a2＝a
B．存在实数x，使|x|＝－1
C．对一切a∈R，a＝|a|
D．对任意a，b，|a－b|＝(a－b)2
解析：C，D是全称量词命题，B是假命题．
题型3全称量词命题与存在量词命题的综合应用
7．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是__{m|m≤5}__．
解析：因为当x≥3时，2x－1≥5，
所以若“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则m≤5.
8．(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围；
(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围．
解：(1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.
故m的取值范围是{m|m≥3}．
(2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.故m的取值范围是{m|m≥1}．
易错点命题概念理解不清致误
9．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是(A)
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy
C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy
D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≥2xy
解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为“对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立”．故选A.
[误区警示]本题是含有双变量的全称量词命题，理解全称量词命题的定义及形式是解决问题的关键．题中隐含任意x，y∈R，解题时要注意挖掘隐含条件．
(限时30分钟)
一、选择题
1．下列说法正确的个数是(C)
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“任意x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题；
③命题“存在x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0”是存在量词命题．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：只有②③正确．
2．下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )
A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0
C ．两个无理数的和必是无理数
D ．存在一个负数x ，使1x
>2 解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 是存在量词命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任
何一个负数x ，都有1x
<0，所以D 是假命题． 3．下列存在量词命题是假命题的是( B )
A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0
B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0
C ．有的整数是偶数
D ．有的有理数没有倒数
解析：对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34
>0恒成立，所以存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0是假命题．
4．(多选题)下列命题中是真命题的是( ACD )
A ．∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0
B ．∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0
C ．∃x ∈N ，使x ≤x
D ．∃x ∈N *，使x 为29的约数
解析：对于A ，这是全称量词命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故A 为真命题；对于B ，这是全称量词命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故B 为假命题；对于C ，这是存在量词命题，当x ＝0时，有x ≤x 成立，故C 为真命题；对于D ，这是存在量词命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以D 为真命题．
5．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝Q 且P ≠Q ，则下列命题是假命题的是( D )
A ．∀x ∈Q ，有x ∈P
B ．∃x ∈P ，有x ∉Q
C ．∃x ∉Q ，有x ∈P
D．∀x∉Q，有x∉P
解析：因为P∩Q＝Q且P≠Q，所以Q P，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有集合Q中没有的元素，所以A，B，C正确，D错误．
6．已知∀x∈{x|0≤x≤2}，m>x，∃x∈{x|0≤x≤2}，n>x，那么m，n的取值范围分别是(C)
A．{m|m>0}，{n|n>0}
B．{m|m>0}，{n|n>2}
C．{m|m>2}，{n|n>0}
D．{m|m>2}，{n|n>2}
解析：由∀x∈{x|0≤x≤2}，m>x，可得m>2；由∃x∈{x|0≤x≤2}，n>x，可得n>0.
二、填空题
7．下列命题中，是全称量词命题的有__①②③__，是存在量词命题的有__④__.(填序号)
①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
8．下列全称量词命题中是真命题的为__①②③__.(填序号)
①负数的倒数为负数；
②菱形的每一条对角线平分一组对角；
③角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
解析：①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．
三、解答题
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其的真假．
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；(3)∃x∈R，x2－3x＋2＝0；
(4)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.
解：(1)全称量词命题，是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为2，就不能用正有理数表示．
(2)存在量词命题，是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．
(3)存在量词命题，是真命题，x＝2或x＝1，都能使x2－3x＋2＝0成立．
(4)全称量词命题，是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立．。