全称量词与存在量词【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题 全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”. 全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词， 例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”； （3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题 存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃”表示，读作“存在”. 特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题. 一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+. （2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”. 要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题 例1.判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->。

【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题. （1）∀x ∈R ，x 2+1≥1； （2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数.【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。

类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例2.判断下列命题的真假： （1）4,12x N x ∀∈+≥；（2）300,1x Z x ∃∈<.【解析】（1）由于0N ∈，当0x =时，412x +≥不成立，故(1)为假命题； （2）由于1Z -∈，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题.举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假（1）01,2>+∈∀x R x ； （2）1,2≥∈∀x N x ； （3）3,3=∈∃x Z x ；（4）023,2=+-∈∀x x R x ； （5）01,2=+∈∃x R x ；【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定 例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）2,440x R x x ∀∈-+≥； （2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得2020x +=.【答案】（1）p ⌝：2000,440x R x x ∃∈-+<（假命题）；（2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）p ⌝：2,10x R x x ∀∈++>（真命题）； （4）p ⌝：2,20∀∈+≠x R x （真命题）.【变式1】(2015 湖北文)命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ ） A ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠- B ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=- C ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠- D ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞=-【答案】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-，故选C.类型四：含有量词的命题的应用 例4．已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 【解析】10x 2331x 12131x 22|31x 1:|p ≤≤-⇒≤-≤-⇒≤--≤-⇒≤--q:x 2-2x+1-m 2≤0⇒[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 又∵m>0， ∴不等式的解为1-m≤x≤1+m∵p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件” ∴不等式2|31x 1|≤--的解集是x 2-2x+1-m 2≤0(m>0)的解集的子集.1m 2m 3,m 91m 10m 9-≤-≥⎧⎧∴⇒∴≥⎨⎨+≥≥⎩⎩∴实数m 的取值范围是[)+∞,9举一反三：【变式1】(2015 山东)若“]4,0[π∈∀x ，m x ≤tan ”是真命题，则实数m 的最小值为 。

【答案】1 【解析】若“]4,0[π∈∀x ，m x ≤tan ”是真命题则max )(x f m ≥，其中x x f tan )(= ]4,0[π∈x函数x x f tan )(= ]4,0[π∈x 的最大值为1 1≥∴m即m 的最小值为1，所以答案应填1.【变式2】若函数1()()22xf x =-，g （x ）=a （x －a+3）同时满足以下两条件： ①x R ∀∈，f （x ）＜0或g （x ）＜0；②(1,1)x ∃∈-，f （x ）g （x ）＜0. 则实数a 的取值范围为________。

【答案】∵已知函数1()()22xf x =-，g （x ）=a （x －a+3），根据①x R ∀∈，f （x ）＜0，或g （x ）＜0，即函数f （x ）和函数g （x ）不能同时取非负值， 由f （x ）≥0，求得x≤－1，即当x≤－1时，g （x ）＜0恒成立，故031a a >⎧⎨->-⎩，解得：a ＞2；根据②(1,1)x ∃∈-，使f （x ）·g （x ）＜0成立，∴g （1）=a （1－a+3）＞0， 解得：0＜a ＜4，综上可得：a ∈（2，4），【变式3】已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数.命题q ：当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数11()f x x x c =+>恒成立.如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题.求c 的取值范围.【解析】由命题p 知：0＜c ＜1. 由命题q 知：1522x x ≤+≤，要使此式恒成立，则12>c ，即12c >. 又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假， 当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为102c <≤.当p 为假，q 为真时，c ≥1. 综上，c 的取值范围为1{|0c 1}2c c <≤≥或. 类型五 由命题的真假求参数的取值范围例5．已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.(4，＋∞) B.[1，4] C.[e ，4] D.(－∞，－1)【解析】C 由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解， 则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.综上可知e≤a ≤4. 举一反三： 【变式1】已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.【解析】 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.【变式2】已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________.【解析】 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2. 因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.【变式3】已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________.【解析】 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎡⎦⎤12，1上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.【变式4】已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.【解析】当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14。