3 全称量词与存在量词
[A 组 基础巩固]
1．下列命题是特称命题的是( )
A ．偶函数的图像关于y 轴对称
B ．正四棱柱都是平行六面体
C ．不相交的两条直线是平行直线
D ．存在实数大于等于3
解析：“存在”是存在量词．
答案：D
2．(2015·高考湖北卷)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )
A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1
B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1
C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1
D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1
解析：特称命题的否定是全称命题．
改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.
答案：A
3．下列命题中假命题是( )
A ．有些不相似的三角形面积相等
B ．存在一个实数x ，使x 2＋x ＋1≤0
C ．存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大
D ．有一个实数的倒数是它本身
解析：以上4个均为特称命题，A ，C ，D 均可找到符合条件的特例；对B ，任意x ∈R ，
都有x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34
>0.故B 为假命题． 答案：B
4．下列特称命题中，真命题的个数是( )
①存在一个实数a ，使a 为正整数；
②存在一个实数x，使10
x为正整数；
③存在一个实数y，使11
y＝1为整数．
A．0B．1 C．2 D．3
解析：对于①，当a＝4时，a＝2为正整数；对于②，当x＝1时，10
x＝1为正整数；
对于③，当y＝1时，11
y＝1为整数，故选D.
答案：D
5．命题“任意x∈[1,3]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()
A．a≥9 B．a≤9
C．a≥10 D．a≤10
解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1,3]．又y＝x2在[1,3]上的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9⇒/ a≥10，a≥10⇒a≥9，故选C.
答案：C
6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．
解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y 轴不对称”．
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
7．给出下列命题：①矩形的对角线不相等；②有的向量方向不确定；③对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；④存在实数大于等于3；⑤至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．其中是全称命题的是________，是特称命题的是________．(填序号) 解析：①可改写为，“所有矩形的对角线都不相等”，含有全称量词“所有”，故是全称命题；②中含有存在量词“有的”，故是特称命题；③中含有全称量词“任意”，故是全称命题；④中含有存在量词“存在”，故是特称命题；⑤中含有存在量词“至少有一个”，故是特称命题．
答案：①③②④⑤
8．给出下列四个命题：
①梯形的对角线相等；②对任意实数x ，均有x ＋2>x ；③不存在实数x ，使x 2＋x ＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．
其中所有正确命题的序号为________．
解析：①中直角梯形的对角线不相等，不成立；②显然成立；③x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34
>0，成立；④显然成立．
答案：②③④
9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假：
(1)每一个指数函数都是增函数；
(2)至少有一个自然数小于1；
(3)存在一个实数x ，使得x 2＋2x ＋2＝0；
(4)圆内接四边形，其对角互补．
解析：(1)是全称命题．对于指数函数y ＝(12
)x ，它是减函数，故该全称命题是假命题． (2)是特称命题．显然，自然数0小于1，故该特称命题是真命题．
(3)是特称命题．对方程x 2＋2x ＋2＝0，Δ＝22－4×2＝－4<0，即方程x 2＋2x ＋2＝0没有实数根，因此该特称命题是假命题．
(4)是全称命题．省略了全称量词“所有的”，是真命题．
10．若“存在实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1<0成立”是假命题，求实数a 的取值范围． 解析：“存在实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1<0成立”的否定是“对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立”．
原命题是假命题，故它的否定是真命题．
①当x ＝0时，1≥0恒成立，此时a ∈R .
②当x ≠0时，a ≥－x 2－1|x |
＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |. 又|x |＋1|x |
≥2，当且仅当|x |＝1时等号成立， 所以－⎝
⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，当且仅当|x |＝1时等号成立， 所以a ≥－2.
综上，实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．
[B 组 能力提升]
1．下列命题中，真命题是()
A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．任意的m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．任意的m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：对于选项A，当m＝0时，即∃m∈R，f(x)＝x2＋mx＝x2是偶函数．故A正确．答案：A
2．下列命题的否定是真命题的是()
A．在△ABC中，存在A>B，使sin A>sin B
B．空间中任意两条没有公共点的直线都平行
C．任意两个全等三角形的对应角都相等
D．存在x0，y0∈R，x20＋y20－4x0＋6y0＝0
解析：A是真命题，其否定是假命题；B是假命题，其否定是真命题；C是真命题，其否定是假命题；D是真命题，其否定是假命题，故选B.
答案：B
3．下列命题中全称命题是________；特称命题是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③②④
4．四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
解析：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，
∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．
当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，
∴②为假命题，对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
答案：0
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根．
(2)存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋2≤0.
(3)等圆的面积相等，周长相等．
(4)对任意角α，都有sin 2 α＋cos 2 α＝1.
解析：(1)这一命题可以表述为：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m ＜0，即m
＜－14
时，一元二次方程没有实数根，所以其否定形式是真命题； (2)这一命题的否定形式是：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋2＞0，利用配方法可以证得原命题的否定是一个真命题；
(3)这一命题的否定形式是：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知原命题的否定是一个假命题；
(4)这一命题的否定形式是：存在α∈R ，有sin 2 α＋cos 2α≠1，由于原命题是真命题，所以原命题的否定是假命题．
6．已知f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx .若同时满足：
①命题“对任意x ∈R ，f (x )>0和g (x )>0中至少有一个成立”为真命题；
②命题“对任意x ∈(－∞，－4)，都有f (x )g (x )≥0”的否定为真命题．
求实数m 的取值范围．
解析：“对任意x ∈R ，f (x )>0和g (x )>0至少有一个成立”为真命题．
当m ≤0时，显然不合题意；
当m >0时，因为f (0)＝1>0，f (x )的图像的对称轴为直线x ＝4－m 2m
， 若4－m 2m
≥0，即0<m ≤4，结论显然成立； 若4－m 2m
<0，即m >4，只要方程2mx 2－2(4－m )x ＋1＝0的判别式Δ＝4(4－m )2－8m <0即可． 又m >4，可得4<m <8.
所以m∈(0,8)．
“对任意x∈(－∞，－4)，都有f(x)g(x)≥0”的否定为真命题，
即“存在x0∈(－∞，－4)，使得f(x0)g(x0)<0”为真命题．
又当m∈(0,8)，x∈(－∞，－4)时，g(x)<0恒成立，由条件①可知，必存在x0∈(－∞，－4)，使得f(x0)>0成立．
综上，可得实数m的取值范围为(0,8)．。