全称量词与存在量词编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2．能准确地使用全称量词和存在量词符“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符“∀”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符“∃ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题例1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符表示.（1） 对任意正实数2,20a a a -->；（2） 对某个大于10的正整数n ，1024n =.【解析】（1）命题（1）中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合.命题（1）可以写成“20,20a a a ∀>-->”.（2）命题（2）中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合.命题（2）可写成“*10,1024n n n N ∃>∈=.【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1） 任何一个实数除以1仍等于这个数；（2） 等边三角形的三边相等；（3） 存在实数0x ，使2030x ->。

【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题【高清课堂：全称量词与存在量词395491例1】【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。

类型二：判断全称命题、特称命题的真假例2.判断下列命题的真假：（1）4,12x N x ∀∈+≥；（2）300,1x Z x ∃∈<. 【解析】（1）由于0N ∈，当0x =时，412x +≥不成立，故(1)为假命题；（2）由于1Z -∈，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题.【总结升华】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假（1）01,2>+∈∀x R x ；（2）1,2≥∈∀x N x ；（3）3,3=∈∃x Z x ；（4）023,2=+-∈∀x x R x ；（5）01,2=+∈∃x R x ；【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假.（1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）:p 2,20x R x ∀∈+>；（5）:p 200,10x R x ∃∈+=. 【解析】（1）是全称命题且为真命题.命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题.（2）是全称命题且为假命题.命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题.（3）是特称命题且为真命题.命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题.（4）是全称命题且为真命题.由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题 （5）是特称命题且为假命题.因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题； p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题.【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假.（1）2,440x R x x ∀∈-+≥；（2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤；（4）至少有一个实数x 0，使得2020x +=.【答案】（1）p ⌝：2000,440x R x x ∃∈-+<（假命题）；（2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）p ⌝：2,10x R x x ∀∈++>（真命题）；（4）p ⌝：2,20∀∈+≠x R x （真命题）.【高清课堂：全称量词与存在量词395491 例5】【变式2】 “a 和b 都不是偶数”的否定形式是（ ）（A ） a 和b 至少有一个是偶数（B ） a 和b 至多有一个是偶数（C ） a 是偶数，b 不是偶数（D ）a 和b 都是偶数.【答案】A【变式3】(2015 湖北文)命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是A ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-B ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-C ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-D ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞=- 【答案】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-，故选C .类型四：含有量词的命题的应用例4．已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【解析】10x 2331x 12131x 22|31x 1:|p ≤≤-⇒≤-≤-⇒≤--≤-⇒≤-- q:x 2-2x+1-m 2≤0⇒[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0又∵m>0∴不等式的解为1-m≤x≤1+m∵p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件”∴不等式2|31x 1|≤--的解集是x 2-2x+1-m 2≤0(m>0)的解集的子集. 1m 2m 3,m 91m 10m9-≤-≥⎧⎧∴⇒∴≥⎨⎨+≥≥⎩⎩ ∴实数m 的取值范围是[)+∞,9【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.举一反三：【变式1】(2015 山东)若“]4,0[π∈∀x ，m x ≤tan ”是真命题，则实数m 的最小值为 。

【答案】1【解析】若“]4,0[π∈∀x ，m x ≤tan ”是真命题 则max )(x f m ≥，其中x x f tan )(= ]4,0[π∈x 函数x x f tan )(= ]4,0[π∈x 的最大值为11≥∴m即m 的最小值为1，所以答案应填1.【变式2】（2016 江苏模拟）若函数1()()22x f x =-，g （x ）=a （x －a+3）同时满足以下两条件：①x R ∀∈，f （x ）＜0或g （x ）＜0；②(1,1)x ∃∈-，f （x ）g （x ）＜0。