线性代数中关于特征值和特征向量的方法 万学教育 海文考研 考研教学与研究中心 刘妍
基础阶段的复习我们一般在进入4月份以后，很多同学都开始启动线性代数的复习了。

有些同学对于线代总是感觉知识点很散，对于一些解题的方法感觉学起来不容易记。

其实线性代数是方法性比较强的一门学科，如果能把各个章节串联的去学习，那么对于线性代数的学习可能会更加的游刃有余一些。

下面我就特征值，特征向量这一部分给大家说几种结题方法： 一、方法一：
(1) 取定数域P 上的线性空间n
V 的一个基, 写出线性变换T 在该基下的矩阵A ; (2) 求出A 的特征多项式ϕλ（）在数域P 上的全部根, 它们就是T 的全部特征值; (3) 把求出的特征值逐个代入方程组, 解出矩阵A 的属于每个特征值的全部线性 无关的特征向量;
(4) 以A 的属于每个特征值的特征向量为n
V 中取定基下的坐标, 即得T 的相应特征 向量.
例1 求矩阵
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=A 122212221, 的特征值与特征向量. 解 容易算出A 的多项式
)(det A -I λ=
12
2
2
1
22
21
---------λλλ)
5()1(2-+=λλ,
所以T 的特征值是11-=λ(二重)和.52=λ
特征方程0)(=-I x A λ的一个基础解系为T -)1,0,1(, T
-)1,1,0(.
T 的属于1λ的两个线性无关的特征向量为,311x x y -= 322x x y -=.
所以T 的属于1λ的全部特征向量为2211y k y k + (其中k k k ∈21,且不同时为零). 特征方
程的一个基础解系为T
)1,1,1(. 记3213
λλλ++=y , 则T 的属于2λ 的全体特征向量为33y k (k k ∈3且不为零).
方法二： 利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量
例2求实数域上矩阵
A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----12221222
1
的特征值及特征向量.
解
]|)[(E E -A T λ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--------100122
010*******
21 λλ
λ
→ ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢
⎢⎣⎡--------00122
1010212100122
λλλ
→ ⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎢⎣⎡
+-+--+-----23112)5)(1(00
110110100122λλλλλλ = [)(|)(λλP D ].
令)(λD 的主对角线元素之积为0, 即
0)5()1(2
=+-λλ, 特征值为121==λλ(二重), 53-=λ.
当121==λλ时,
)](|)([λλP D =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----211000110000100222 ,
1))((=λD R , 于是, 121==λλ对应的特征向量为
1θ=()T 211-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211, ()T
2110-=θ=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-110.
所以, A 的属于121==λλ的全部特征向量为2211θθk k +, 其中21,k k 是不全为零的常数. 当
53-=λ时,
)](|)([33λλP D =⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----111000110660100422
→⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
-----11100
0616101102100211 ,2))((3=λD R 于是53-=λ对应的特征向量为
3θ=T )1,1,1(--=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--111,
所以, A 的属于
53-=λ的全部特征向量为33θk , 其中3k 不为零.
以上方法利用初等变换求特征值, 再观察直接得出特征向量, 可以看出来, 特征值 与特征向量的求法是同步的, 计算量较少. 方法三：求抽象矩阵的特征值与特征向量的方法
(1) 根据P =AP λ, ,0≠P 满足此关系式的λ与P 分别是A 的特征值与特征向量; (2) 满足关系式0||=A -E λ的λ即为A 的特征值;
(3) 若A 满足某个关系式0)(=A g , 则A 的特征值λ必满足:
0)(=λg , 但要注意的是0)(=λg 只是λ是特征值的必要条件, 并不是充分条件.
例3 设n 阶矩阵有特征值λ (1) 证明T
A 和A 有相同的特征值; (2) 求2A , E +A +A 22
的特征值; (3) 若A 可逆, 求1
-A
, *A , 1
-A -E 的特征值.
解 (1) 因为
|||)(|||T
T A -E =A -E =A -E λλλ, 即A 与T A 有相同的特征多项式
||||T
A -E =A -E λλ, 从而A 与T A 有相同的特征值.
(2) 设P 是A 的属于λ的特征向量, 即P =AP λ, ,0≠P 则P A 2
=A (P λ)=
P =AP 2λλ .
,)12(2)2(2222P ++=P +P +P =P +AP +P A =P E +A +A λλλλ 由此可知,2λ 分别
是2
A , E +A +A 22
的特征值, P 仍是其对应的特征向量.
(3) 若A 可逆, 则,0≠λ 设P 是其对应的特征向量, 则P =AP λ )(a
式)(a 两端左乘以1
-A , 得.,1
11P =P A P A =P ---λλ
P
A =P A A =P A -)|
|(
||1*λ
,)1()(1111P -=P -P =P A -EP =P A -E ----λλ
从而得到1
-λ, ,
|
|λ
A 11--λ分别是
,1-A *A , 1-A -E 的特征值, P 仍是其对应的特征向量.
同学们在做题目的时候得及时的总结方法，并且加强这方面的联系，在学习线代的道路上越走越通畅。