V V(体应变)
P
(4)柔软的绳和弦上横波波速：
ut
T
式中: 为质量线密度； T为绳或弦线中张力。
8
§5-2、3 平面简谐行波的波动方程
1. 平面简谐波的运动学方程——波方程 波源和介质中的质点都作简谐振动, 这种波称之为简谐
波，波面为平面的简谐波即为平面简谐波。
设一平面简谐行波在均匀无耗媒质中沿x轴正方向传播, 波速u。用x表示各质点的平衡位置；y表示各质点对平衡位 置的位移。
的传播方向一致。
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2.平面简谐波运动学方程的物理意义
yAcos(t[u x)0]
运动学方程中含有两个变量x和t，它即反映了媒质中各质点 的振动规律，又反映了振动状态的传播规律。
(1)当x=xo(确定值)时，位移y只是时间t的余弦函数:
y A c o t s x u o o A c o t s0 x u 0
线
波面
平面波
球面波
在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直。
4
三.描述波动的解析参量
1.周期T：一个完整波形通过介质中的一点所需的时间=该 点处质元完成一次全振动的时间。
波的周期就是它所传播的振动的周期即波源的振动周期
2.波长: 波线上相位差为2π的两个点之间的距离。
波(振动状态)在一个周期内前进的距离就是一个波长 3. 波速u : 单位时间波(振动状态)所传播的距离。
2
注意！ •质元并未“随波逐流” •各质元均在自己的平衡位置附近振动 •传播的是波源的振动状态或者说相位 •沿波传播的方向，各质元相位依次落后
总之, 波动(或行波)是振动状态的传播，是能量的传播， 而不是质点的传播。
2 . 纵波和横波 横波——振动方向与传播方向垂直，如绳中传播的波等。 横波只能在固体中传播，横波的特征是有凸凹的波峰、波谷。
u
T
通常情况下, 波的频率或周期与媒质无关，只取决于波 源的振动频率，而波速却与波源无关，取决于媒质的弹性性 质和质量密度。
5
下面介绍几种均匀各向同性介质中的波速公式: (1)细长的棒状媒质中纵波波速：
ul
Y
式中: 为质量密度； Y为杨氏弹性模量。
若在截面为S、长为l的细棒两端加上大小相等、方向 相反的轴向拉力f，使棒伸长l，如图所示。
F
x
S
F
φ
S
在固体媒质中即可传播横波也可传播纵波，在同一种固体
媒质中，横波波速比纵波波速小些。
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(3)在液体和气体只能传播纵波，其波速： u l
B
式中: 为质量密度； B为容变弹性模量。
设流体体积在压强为P时等于V，如果是压强增加到P+P, 体积变化为V+V，则在通常压强范围内有
B p (体应力)
第1篇 力 学
第五章 波动学基础
§5-1 波动的基本概念
振动在空间的传播过程叫做波动，激发波动的振动系统 称为波源。机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波， 如声波、水波等。
一. 机械波的产生和传播
1. 产生条件: ·波源 ·弹性媒质
波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传 播开去，从而形成机械波。 简谐振动在弹性介质中传播形成 的机械波称为简谐波。
则在弹性限度内：
Y f S (张应力) f
l l (张应变)
f
l l
6
(2)均匀固体媒质中的横波波速： u t
G
式中: 为质量密度； G为切变弹性模量。
若在柱体上下表面S上作用一大小相等，方向相反的 切向力F，使柱体发生切变，如图所示。
则在弹性限度内：
GF/SF/S (切应力)
x l (切应变) l
P点的振动方程为： yAcos(t[u x)o]
这就是沿x轴正向传播的平面简谐波的运动学方程。
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y
u
P
o
x
x
若波沿x轴负方向传播， 则P点的相位比o点超前 x/u，于
是P点的相位 ( t+0)+ x/u, 这时波动方程应为
yAcos(t[u x)o]
总结起来，波动方程的标准形式应为：
yAcos(t[
这是xo处质点的振动方程，相应的y-t 的曲线就叫做振动 曲线。
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(2)当t=to(确定值)时，位移y只是坐标x的余弦函数:
yAcos(to [u x)o]
此式表示给定时刻to各振动质点的位移分布情况, 相应的 y-x的曲线就叫做波形曲线，如图所示。
y
t=t0
o
x
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(3)当x, t 都变化时，代表一列沿x轴正方向传播的波。
y
u
பைடு நூலகம்
P
o
x
x
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如何描述平面简谐波？
y
u
P
o
x
x
平面简谐波的运动学方程——就是波线上任一质点的振动方程!
假设已知O点振动方程： y A cot s0 ( )P点
O点振动传到 P点需用 t
x u
，
P点相位落后
t
x u
10
比较
O点
P点
振幅 A
A
角频率
相位
t+ 0
t
0
x u
已知O点振动方程： y A cot s0 ( )
纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。 纵波可在固体、液体、气体中传播。纵波的特征是有稀密相 间的介质区域。
3
二. 描述波动的几何参量
1.波线(或波射线) ——表示波传播的方向。
2.波面(或同相面)——某时刻介质内振动相位相同的点组成
的面称为波面。
3.波前(或波阵面)——最前面的波面。
波线
波面
波
x u
)
o
]
“ ” —波沿x轴正方向传播； “ ” —波沿x轴负方向传播。
0—o点振动的初相
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yAcos(t[
x u
)
o
]
根据 2, u
T
T
波动方程还可写为以下几种形式：
yA co ts (0
2x )
yAcos2[(t
T
x
)
0
]
y A co tk s x o
式中
k
2
k0 称为波矢，k0是波矢的单位矢量，其方向与波
2 t2 yA 2co (s t [u x)0]
x 2y 2A u 2 2co (s t [u x)0]
比较上两式可得： 2t2yu2x2y2 0 或
2y 1 2y x2 u2 t2
这是平面波的动力学方程。它是物理学中最重要的方程之一.
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4 . 求平面简谐波的运动学方程的几种题型
yAcos(t[u x)0]
Acos(t[t
x+ut
u
)+o]
上式表明，t 时刻x点的振动状态，经时间t后传播到了
x+ut 处。即经时间t波沿x轴正方向传播了距离ut，如图所
示。 y
ut t+t时刻
u
o
t时刻
x
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3.平面波的动力学方程
平面简谐波的运动学方程： yAcos(t[u x)o]
把上式分别对t及x偏微分两次：