虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但 是在大多数情况下，实际的关系并非是真正 线性的。即使对所谓的线性系统来说，也只 是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较 小的非线性因素所引起的误差，工程上又允 许的话，这一系统就可以作为线性系统来处 理。
饱和非线性
当输入信号在一定范围内 变化时，具有饱和特性的 环节其输入输出呈线性关 系；当输入信号x的绝对值 超出其线性范围后，输出 信号不再随输入信号变化 而保持在一常值上。具有 饱和特性的元件如放大器、 调节器等。
当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件； 当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线 性元件来处理。
死区非线性
y(t)
死区特性又称不灵敏特性，图
中横坐标为输入，纵坐标为输
出。当输入信号在零附近变化 -x O x 时，系统输出为零。
x(t)
只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与 输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调 节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区 很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将 它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态 误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。
间隙非线性
传动机构的间隙也是控制系统
y(t)
中一种常见的非线性特性现象。
在机械传动中，由于加工精度
的限制及运动件相互配合的需
要，总会有一定的间隙存在。 -x 例如齿轮传动，为保证转动灵
O +x x(t)
活不发生卡死现象，必须容许
有少量间隙。
由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮
（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行
弹簧 k
x1(t ) v1(t )
x2 (t ) v2 (t )
微分方程中，无论是因变量或者是它的导数， 都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其 导数之积，则此微分方程就是线性微分方程。 用这种方程描述的系统称为线性系统。
下列微分方程描述的系统为线性系统。
(1) 3 y 2x 4
(2)
d2y dt 2
2
dy dt
y
6
dx dt
3x
(3)
d3 dt
y
3
5
d2y dt 2
O
x(t)
-y2 -y1
“等效”线性系统
非线性系统不能应用叠加原理。因此，对包含 有非线性系统的问题求解，非常复杂。为了绕 过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需 引入“等效”线性系统来代替非线性系统。如 饱和非线性和死区非线性。这种等效线性系统， 仅在一定的工作范围内是正确的。
非本质非线性：没有间断点、折断点的非线性， 可用线性化处理的数学模型。
3.消去中间变量，列出各变量间的关系式。 最后得到只包含输入量和输出量的方程 式。
4.化成标准形式，即输出量放在方程式的 左端，而输入量放在方程式的右端，且各 阶导数项按降幂排列
* 建立数学模型的基础： 机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电 学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热 学： 传热定理、热平衡定律
本质非线性：有间断点、折断点的非线性，只 能用非线性理论去解决。
第二节 线性微分方程式的建立
一、建立线性微分方程式的步骤 1、首先将系统划分为若干个环节，确定每一 环节的输入信号和输出信号。确定输入信号和 输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一 环节的输入信号。 2、写出每一环节（或元件）输出信号和输入 信号相互关系的运动方程式，找出联系输出量 与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联 系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式 就是环节（或元件）的原始方程式。在此同时 再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性 化，忽略一些次要因素等 。
x1(t) + x2(t)→ y1(t) + y2(t) 称为叠加性或叠加原理
叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系 统的响应（输出），等于两个输入函数单独作用的响 应之和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以 一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。
三、非线性系统
用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统。
程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号y(t) ）转 动，形成如图所示的环状间隙特性。
摩擦间隙非线性
在机械传动中，摩擦是
必然存在的物理因素。
例如执行机构由静止状
态启动，必须克服机构
中的静摩擦力矩y1 。 启动之后，又要克服机
构中的动摩擦力矩y2 。 一般静摩擦力矩大于动
摩擦力矩。如图所示。
y(t) +y1 +y2
系统数学模型获取方法
理论分析
可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构
试验法
可以最终确定数学模型的形式。
两种方法是相辅相成的。
从理论上建立系统的数学模型，常称为理论 建模。
二、线性系统
如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为 线性系统。一个系统，无论是用代数方程还是 用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为 方程的次数。一次微分方程叫做线性微分方程； 除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方 程。
二、举例
1．机械系统的微分方程式 机械系统设备大致分两类：平移的和旋转 的。它们之间的区别在于前者施加的力而 产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。牛顿定律和虎克定律等物理定 律是建立机械系统数学模型的基础
机械运动系统的三要素
质量 m
x(t )
fm (t )
v(t )
m
参考点
d
d2
fm (t) m dt v(t) m dt 2 x(t)
5
dy d系统为非线性系统。
(4) 3 y x2 3xy x
(5)
d2y dt 2
dy dt
2
y
x
线性系统的叠加性
线性系统最重要的特性，就是叠加原理。
若系统在输入x1(t)作用下的输出为y1(t)，而在另一 个输入x2(t)作用下的输出为y2(t)，并记为
x1(t) → y1(t) x2(t) → y2(t) 则以下关系
第一节 引 言
一、系统的数学模型
数学模型就是系统的输出与输入间的数学表 达式。分为静态模型和动态模型。 静态模型：在静态条件下得到的方程。一般 用代数方程来表示。 动态模型：在动态条件下得到的方程。一般 用微分方程式来描述。
工程上常用的数学模型包括微分方程、传递 函数和状态方程，微分方程是基本的数学模 型，是列写传递函数的基础。