函数的一阶和二阶导数为
dy dx
Fx Fy
x y
,
dy 0, d x x0
y 1
d2y dx2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d 2y dx2 x0 1.
y 1
例 2 已 知 ln x 2 y 2 ar x y ， c 用 公 t式 a 求 d d n . x y
解 令 F (x,y)lnx2y2arcyt, an x
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy d x
xy x
FxxFyFy2FyxFx
FxyFyFy2Fy
yFx
(Fx Fy
)
FxxFy22FxF yF y3xFyFyyFx2
法2
d2y dx2
d ( Fx ) d x Fy
(FxxFxyddyx)FyFy2Fx(FyxFyyddyx)
b1 b2
a1b2 a2b1
0 ，则方程组有唯一解：
c1 b1
a1 c1
； 。 x c2 b2 b2c1 b1c2
J
a1b2 a2b1
y a2 c2 a1c2 a2c1
J
a1b2 a2b1
Fu
u x
Fv
v x
Fx
Gu
u x
Gu
v x
Gx
这是关于
u x
,
v x
的
二元线性方程组。
则
Fx
ln
x2y2 arctayn xx
1 x2y2
2
2x x2y2
11y2xy2
x
x x2
y y2
Fylnx2y2arctx ya yn
1 x2y2
2
2y x2y2
11y2
1 x
x
y x2
x y2
,
dy dx
Fx Fy
x y
y x
.
2 . F (x ,y ,z) 0
隐函数存在定理 2
将
d y Fx dx Fy
代入得
FxxFy22FxF yF y3xFyFyyFx2
Fx
xy x
例１验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域内能 唯一确定一个有连续导数且 x 0时 y 1的隐函 数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导数在 x 0的值.
解 令 F (x,y)x2y21 则 Fx2x, Fy 2y, 均连续。 x 00 , y01 . F(0,1)0, Fy(0,1)20, 依定理知方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个有连续导数且 x 0时 y 1的函数 y f ( x)．
z x
(2
z)
x
x 2
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 (2 z)3
.
二、方程组的情形
F(x, y,u,v)0 G(x, y,u,v)0
何时唯一 u 确 u(x,定 y),v函 v(x数 ,y)？
y
?
隐函数存在定理 3
设 F ( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在点 P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ，G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式）
一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结
一、一个方程的情形
1 . F (x ,y)0
隐函数存在定理 1 设函数 F(x, y) 在点 P(x0, y0 ) 的某一邻域内具有
连续的偏导数，且 F (x0, y0 ) 0 ， Fy (x0, y0 ) 0. 则方程 F(x, y) 0 在点 P(x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y f (x) ， 它满足条件 y0 f (x0 ) ，并有
(3)
F(x,y,u,v)0 G(x,y,u,v)0
可用公式法 常用解法：
方程两边求导法
例5.设函数 x x ( u ,v ) ,y y ( u ,v ) 在点(u,v) 的某一
邻域内有连续的偏导数,且 (x, y) 0 (u, v)
1)
证明函数组
yx
x(u,v) y(u,v)
在点
(x, y, u, v)
.
例4
设
xu yu
yv xv
0,， 1
求
u ， u ， v 和 v . x y x y
一般不会直接代入公式；而是运用公式 解 推导过程用到的的方法
将所给方程的两边对 x 求导并移项:
x
u x
y
v x
u
y
u x
x
v x
v
,
x DJ
y x2y2,
yx
x DJ
y x2y2,
yx
u y D1 v x
的
某一邻域内 唯一确定一组连续且具有连续
偏导数的反函数 u u ( x ,y ) ,v v ( x ,y ) . 2) 求 u u ( x ,y ) ,v v ( x ,y ) 对 x , y 的偏导数.
解: 1) F ( x ,y ,u ,v ) x x ( u ,v ) 0
令
G ( x ,y ,u ,v ) y y ( u ,v ) 0
z Fx x Fz
z Fy y Fz
例 3设 x2y2z24z0， 求 x 2z 2.
解 令 F (x ,y ,z ) x 2 y 2 z 2 4 z ,
则 Fx2x, Fz2z4,
z x
Fx Fz
2
x
z
,
2z x 2
dz x d x 2
z
(2
z) x (2 z)2
它满足条件 z0 f (x0 , y0 ) ，并有
z Fx x Fz
z y
Fy Fz
.
仅就公式推导如下
设由 F(x, y, z) 0 确定的隐函数为 z f (x, y)
则
F(x,y,f(x,y))0
两边分别对 x ，y 求导
Fx
Fz
z x
0
Fy
Fz
z y
0
在 (x0 , y0, z0 )的某邻域内 F z 0
J1 ((Fx,,G v)).
v x
D2 D
J1 ((Fu,,G x)).
类似，对
F[x,y,u(x,y)v,(x,y)]0 G[x,y,u(x,y)v,(x,y)]0
等式两边对 y 求导， 得关于
u y
,
v y
的线性方程组。
解方程组得
u y
1 J
(F,G) (y,v)
.
v y
1 J
(F,G) (u, y)
设函数 F(x, y, z) 在点 P(x0, y0, z0 ) 的某一邻域 内有连续的偏导数，且 F (x0, y0, z0 ) 0 ，
Fz (x0 , y0, z0 ) 0 ，则方程 F(x, y, z) 0 在点
P(x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个 连续且具有连续偏导数的函数 z f (x, y),
则有 J (F,G) (x, y) 0, (u,v) (u,v)
由定理 3 可知结论 1) 成立.
2) 求反函数的偏导数.
xx(u(x,y),v(x,y)) yy(u(x,y),v(x,y))
①
①式两边对 x 求导, 得
1 x u x v
u x v x
②
0y u y v
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
仅就公式推导如下
设 yf(x)为方 F(x,程 y)0所确定,的 则 隐
F (x,f(x) )0
两边对 x 求导
FFdy0 记作 x y dx
Fx
Fy
dy dx
0
在 (x0 , y0) d y Fx dx Fy
的某邻域内
Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 F x
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点 P( x0 , y0 , u0 , v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y, u, v) 0、 G( x, y, u, v) 0
在点 P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组连续且具有连续偏导数的函数u u( x, y)，
u x v x
注意 J0, 从方程组②解得
1 x
u 1 x J 0
v y
1y, J v
v
x 1
v 1 x J
u y
0
1y J u
u
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
u 1x, y J v
v 1 x y J u
作业
P37 1, 3, 5, 10 (1) (2)
u yJ 1 ((F y,,G v))G F y yG F v v
F uF v, G uG v
v yJ 1 ((F u ,,G y))G F u uG F y y
F uF v. G uG v
线性方程组与克莱默法则
若方程组
aa12xx
b1 y b2 y
c1 c2
的系数行列式
J a1 a2
u x y,vD2
x y
u v
y ux.v
当DJ0 时，
u x
D1 D
xu x2