练习一 复数及其代数运算、复数的几何表示一、填空题 1．(ii +-11)4＝2．i +1＝ Arg )(i +1= arg )(i +13.已知z=())())((i i i i +--+131131，则z = argz=4.将z=－cos 5π + isin 5π表示成三角形式为 表示成指数形式为 Argz= argz=5.3－i 的三角表示形式为，指数表示形式为二．分别就0＜α≤π与-π＜α＜-2π两种情形将复数z=1 - cos α + isin α化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。

三．利用复数表示圆的方程)(0≠a a (x 2+y2)+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d 是实常数。

四．求下列方程所表示的曲线 ①)(i+1z + )(i —1z = 1②z z －)(i +2z －)(i -2z = 4五．证明⑴若z1 + z2 + z3 = 0且z1=z2=z3=1，则点z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点。

⑵若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且z1=z2=z3=z4，则点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两重合。

练习二复数的乘幂与方根、区域一、填空题1．（1＋i）3＋（1－i）3＝2．31-＝3．{z1<z<2}的内点是外点是边界点是4．0<Re(z)<1所确定的是（区域、闭区域）它是（有界、无界）二、求下列复数的值（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+ii313110（2）32221）＋（i三、已知正方形的两个相对顶点为z1(0，－1)于z3(2，5)，求另外两个顶点z2于z4的坐标。

四、画出23--zz≥1所表示的图形，并指出所表示的图形是否是区域，是否有界？五、已知x2+x+1=0，求x11+x7+x3的值。

六、求证：（1+cosθ+isinθ）n=2ncosn2θ(cos2θn+isin2θn)练习三复变函数、复变函数的极限和连续性一、选择题1．下列函数极限存在的是（）A．lim→z zz)Re(B.lim→z zzC.lim→z1222---+zzzz zD.lim→z i21(zz－zz)2．将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=41的映射函数f(z)为（）A．W=Z B.W=Z2 C.W=Z1D.W=Z3．复变函数W=Z2确定的两个实元函数为（）A.u=x2+y2 v=2xyB.u=2xy v=x2-y2C.u=x2v=2xyD.u=x2+y2v=2xy 4．两个实二元函数u=5．在映射W=Z2之下，Z平面的双曲线x2－y2=4映射成W平面上的图形为（）A．直线u=4 B.圆u2+v2=4 C.直线v=4 D.双曲线uv=4二、考虑f(z)=z z +zz在z=0的极限三、函数W=Z1把下列z 平面上的 曲线映射成W 平面上怎样的曲线？ （1）y=x (2) x=1 (3) (x －1)2+y 2=1 四、试讨论函数f(z)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+022y x xy00=≠z z 的连续性练习四 解析函数的概念 函数解析的充要条件 一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．如果)(z f 在z 0连续，那么)('0z f 存在B ．如果)('0z f 存在，那么)(z f 在z 0解析C ．如果)(z f 在z 0解析，那么)('0z f 存在D ．如果z 0是)(z f 的奇点，那么)(z f 在z 0不可导 2．下列函数仅在z=0处可导的是（ ）A.)(z f ＝z 2B.)(z f =x+2yiC.)(z f =z 2D.)(z f =z13．下列函数在复平面内处处解析的是（ ）A ．f(z)=z B.f(z)=e x(cosy+isiny) C.f(z)=z 1 D.f(z)=zz 4.下面各式是柯西—黎曼方程的极坐标形式的是（ ）A ．r u ∂∂=θ∂∂v θ∂∂u =-rv ∂∂ B.r u ∂∂=r 1θ∂∂v θ∂∂u =-r 1r v ∂∂C.r u ∂∂=r 1θ∂∂v r v ∂∂=-r 1θ∂∂uD.r u ∂∂=r θ∂∂v θ∂∂u =-r rv ∂∂ 5．下列说法正确的是（ ）A ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)＋g(z)的一个奇点B ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)－g(z)的一个奇点C ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)g(z)的一个奇点D ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)/g(z)的一个奇点 二．设ay 3+bx 2y+i(x 3+pxy 2)为解析函数，试求a,b,p 之值。

三．下列函数在何处可导，何处解析，并求可导处的导数 1．f(z)=112+z 2.f(z)=zIm(z) 3.f(z)=(y 3-3x 2y)+i(x 3-3xy 2+1) 四．设f(z)=u+iv=ρθi e 为解析函数，证明：若函数u,v,θρ,之一恒等于常数，则函数f(z)亦为常数。

练习五 初等函数 一．填空题1．i 2-i= (-1)2= 1i =2.e21πi -= eln(1-i)= 3.lni= Lni= 4.sin(i+2i)= 二．解方程1．sinz+1=0 z 为复数 2．e z=-1 z 为复数三．求22i的主值及主值的辐角主值 四．当z=x+iy 时，试证下列不等式（1）zsin y ye e -≥-21 (2)yy y y ee e e z --+-≥tan练习六 复变函数积分的概念 柯西——古萨基本定理 复合闭路定理一．填空题1． 设C 为正向圆周：z =3 则⎰-c z dz2=⎰-cz dz 4=()⎰-c n z dz2=(n 为大于1的正整数) 2．⎰+cz z dz)1(=其中C 为正向圆周：z ＝2 3．⎰cdz zz＝其中C 为正向圆周：z ＝4 4．⎰++cz z dz422＝其中C 为正向圆周：z ＝1 5．⎰+cz z dz)1(2＝其中C 为正向圆周：21=z 二．求⎰Γ1Re zdz 和⎰Γ2Re zdz ，其中1Γ和2Γ的起点和终点相同，都是0和1＋i ，但路径不同，1Γ是连接这两点的直线段，2Γ是经过z=1的折线段。

三．试求下列积分的值dz z z z c⎰++212 （1）c={z 41=z } (2)c={z 4121=-z } (3)c={z 411=+z } (4)c={z 2=z }四．设0<r<R,求函数ZZ R ZR )(-+沿圆周r z =（正向）的积分，并由此推证1cos 221202222=+--⎰θθππd rRr R r R 练习七 原函数与不定积分 柯西积分公式 一．填空题1．⎰-ciz z e 2πdz ＝其中C 为正向圆周：2=z2．⎰+iz dz ze 11＝ 3．若f n (z)=(z-z 1)(z-z 2)…(z-z n )(z i ≠z j ;i ≠j,i,j=1,…,n,n>1),又若封闭曲线C 不通过每一点z i ,则积分⎰c nz f dz )(能取个不同的值。

4．⎰=--21212z zz z dz ＝ 5．⎰=--3sin i z dz i z z＝ ⎰=+-22sin z i z zdz ＝ 二．求积分⎰-czi z z e )2(dz 其中C 为正向圆周：43=-i z三．求函数1122-+z z 沿正向圆周C ：10=-z z 的积分值，设圆周C 的圆心分别在：（1）z 0=1; (2) z 0=21; (3) z 0=-1; (4) z 0=-i四．设f(z)=⎰=-+-22123ξξξξξd z (1)试证f(1)=4πi(2)当2≠z 时，试求f(z)之值练习八 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系 一．填空题1．⎰=-22)1(z zdz z ze ＝ 2．⎰=12sin z n dz zz＝ 3．如果二元实变函数f(x,y)在区域D 内具有二阶连续偏导数，并且满足 ，那么称f(x,y)为区域D 内的调和函数。

4．区域D 内的解析函数的虚部（是，不是）实部的共轭调和函数，实部（是，不是）虚部的共轭调和函数。

二．设C 是不通过z 0的简单闭曲线，试求g(z 0)=⎰-+c z z z z 3024)(的值。

三．求积分dz z z zc ⎰-2)1(sin 的值，若C 为正向圆周： （1）21=z （2）211=-z （3）3121=-z 四．已知y x u )1(2-=为调和函数，求满足f(2)=-i 的解析函数f(z)=u+iv 练习九 复数项级数 幂级数一．选择题1．下列数列极限不存在的是（ ）A ．ni ni n -+=11α B.nn i -+=)21(α C.in n e 2πα-= D.i n n e n21πα-=2．下列结论正确的是（ ）A ．每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛B ．每一个幂级数收敛于一个解析函数C ．每一个在z 0连续的函数一定可以在z 0的领域内展开成幂级数D ．在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数 3．下列级数绝对收敛的是（ ）A ．∑∞=1n n n i B.∑∞=2ln n n n i C.∑∞=+08)56(n n ni D.∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-121)1(n nn i n 4.下列级数收敛半径为e1的是（ ） A ．∑∞=+0)1(n nnz i B.∑∞=1n nniz e πC.∑∞=0)(cos n nz in D.∑∞=-1)1(n nn z5．∞→n lim nα=（ ）A ．0 B.∞ C.1 D.1<α为0 1>α为∞1=α为1 1=α1≠α时不存在二．下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（1）∑∞=++1121n n n i （2）∑∞=+1)1(2n nn i n （3）∑∞=+12cos 2)1(n n n ini （4）∑∞=1n n ni三．设级数∑∞=0n nC收敛，而∑∞=0n nC发散，证明n n nz C∑∞=0的收敛半径为1练习十 泰勒级数 洛朗级数一．将函数f(z)=322--z z z展开成z 的幂级数，写出它的收敛圆周。

二．求函数21z 在点z 0＝-1处的泰勒展开式，并指出它的收敛半径。

三．（1）求函数f(z)=2122-++z z z 在以z ＝0为中心，由它的奇点互相隔开的各个不同圆环域内的洛朗展开式。

（2）求函数f(z)=212-+z z 在以z ＝1为中心的圆环域：①310<-<z ②+∞<-<13z 内的洛朗展开式。