复变函数练习题第二
一、单项选择题
1．若z =x +iy ，则)(||2=z 。

D
(A) z z ⋅ (B) 22y x - (C) 22x y - (D) 22y x +
2．设有点集}1|:|{<=z z G ，点i z 3
131+=为G 的（ C ）。

(A) 孤立点 (B) 外点 (C) 内点 (D) 边界点
3．若f (z )=u +iv 在区域G 内是解析函数，则)()(='z f 。

A
(A) x x iv u + (B) x x iv u - (C) x x iu v + (D) x x iu v -
4．
⎰==9||)(z z dz e 。

A (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
5．)(
)1(=-Ln 。

C (A) 0 (B) k πi (k 为整数) (C) (2k +1)πi (k 为整数) (D) (k +1)πi (k 为整数)
二、填空题
1．若点a 为f (z )的可去奇点，则)(lim z f a
z →= 常数c (≠∞) 。

2．)0,1(Re z
s 1 。

3．设w =f (z )为分式线性映射，若扩充复平面上两点1z ,2z 关于圆周c 对称，则)(11z f w =与)(22z f w =两
点关于圆周)(c f c =' 对称 。

4．将扩充z 平面上的点∞,0,1分别映射为扩充w 平面上的点0,1,∞的分式线性映射为 z w -=11 。

5．z e z f =)(在点z=0的幂级数的收敛圆的收敛半径= ∞ 。

三、计算题
1．计算6
23⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=i β 解 66)6sin 6(cos 23ππβi i +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
ππsin cos i += （6分）
=1 （7分）
设23)(z z f =，试求z
z f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim
000 解：因 z z z z z z f z z f z z ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆202000003)(3lim )()(lim 试将1
)(2
-=z z z f 在0<｜z -1｜<+∞内展成罗朗级数 解：f (z )在0<｜z -1｜<+∞内可展成罗朗级数，
有
1
]1)1[(1)(2
2-+-=-=z z z z z f 1
12)1(-++-=z z ，+∞<-<|1|0z 设u =2(x -1)y ，试求解析函数w =f (z )=u +iv ，使得u =2(x -1)y ，且f (2)=-i
解：由C －R 条件
)(22x y v v y u y x ϕ+=⇒==
c x x x x u y +-⇒'-=-=22)(22ϕ
于是
)2()1(2)(22c x x y i y x z f +-++-=
由f (2)=-i 得c =-1 （10分）
故
)12()1(2)(22-+-+-=x x y i y x z f
经验证
)12()1(2)(22-+-+-=x x y i y x z f 或
22)1()12()(--=--=z i z z i z f
即为所求。

（12分）
5．计算积分dx x ⎰+π
20
sin 454 解：令ix e z =，有
z i z x 21sin 2-=，dz z
i dx 1= 于是
⎰⎰=-+=+π
201||2
2524sin 454z dz z i z dx x ππ38)2
,2524(
Re 22=--+⋅=i iz z s i
四、证明题 1．试证：x n x x n nx x x 2sin 2
sin 21sin
sin 2sin sin +=+++ 。

证：令
nx x A cos cos 1+++= ，nx x B sin sin ++= 有 ix
x n i inx x i ix e e e e
e Bi A --=++++=++111)1(2 )2sin 2(cos 21sin 21sin 2sin 221sin
2221x n i x n x x n x ie n n ie x n i x i ++=⋅-+⋅-=+ 故 x n x x Bi A nx x x n
2sin sin sin )Im(sin 2sin sin 2
121+=+=+++ （
2．试利用解析函数的惟一性定理证明：1cos sin 22=+z z 。

证：令
z z z f 221cos sin )(+=，1)(2=z f
因)(1z f 与)(2z f 在复平面解析，且在实轴上相等（8分），所以，由解析函数的惟一性定理在复平面恒有
1cos sin 22=+z z。