2020-2021学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷
1.（填空题，3分）直线x=-1倾斜角的大小为___ ．
2.（填空题，3
分）椭圆 x 29 + y 25 =1的焦距为___ ． 3.（填空题，3分）计算： n→∞2n +12n+1−1
=___ ． 4.（填空题，3分）已知向量 a ⃗ =（m+1，2）， b ⃗⃗ =（1，m ），若 a ⃗ ⊥ b
⃗⃗ ，则实数m 的值为___ ．
5.（填空题，3分）若2与a 的等差中项与等比中项相等，则实数a 的值为___ ．
6.（填空题，3分）平行直线2x+y-1=0与2x+y+1=0之间的距离为___ ．
7.（填空题，3分）已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则△ABC 的重心坐标为___ ．
8.（填空题，3分）两条直线的夹角的取值范围为___ ．
9.（填空题，3分）若圆C 与x 轴和y 轴均相切，且过点（1，2），则圆C 的半径长为___ ．
10.（填空题，3分）若向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为 π3
，| a ⃗ |=2，| b ⃗⃗ |=3，m 为非零实数，则|m a ⃗ + 1m
b ⃗⃗ |的最小值为___ ． 11.（填空题，3分）若将直线x+y-1=0，nx+y-n=0，x+ny-n=0（n∈N *，n≥2）围成的三角形面积记为S n ，则 n→∞S n =___ ．
12.（填空题，3分）过直线l ：y=2x+b （b∈R ）上一点P 作圆x 2+y 2=1的切线，A ，B 为两
切点，若直线l 上不存在满足 PA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 的点P ，则的b 取值范围为___ ． 13.（单选题，4分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ 为两个非零向量，若 a ⃗ =（x 1，y 1）， b ⃗⃗ =（x 2，y 2），则“ x 1x 2
= y 1y 2
”是“ a ⃗ || b ⃗⃗ ”的（ ） A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
14.（单选题，4分）用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）…（n+n ）=2n •1•3…•（2n-1）（n∈N *）．从k （k∈N *）到k+1，若设f （k ）=（k+1）（k+2）…（k+k ），则f （k+1）等于（ ）
A.f （k ）+[2（2k+1）]
B.f （k ）•[2（2k+1）]
C. f (k )+2k+1k+1
D. f (k )⋅2k+1k+1
15.（单选题，4分）方程 y +√x 2−2x +1=0 的图形是图中的（ ）
A.
B.
C.
D.
16.（单选题，4分）已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx （k 为常数）上异于坐标
原点的两个不同的点，则关于x 和y 的方程组 {a 1x +b 1y =1a 2x +b 2y =1
的解的情况是（ ） A.无论k ，P 1，P 2如何，总是无解
B.无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解
C.存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解
D.存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解
17.（问答题，8分）已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，设向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ 、 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b
⃗⃗ ． （1）用向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 分别表示向 DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 BC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）若P 为直线AB 上一点，k 是实数，且 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=kAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用向量 a ⃗，b ⃗⃗ 表示 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．
18.（问答题，8分）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%．求该热气球在前n（n∈N*）分钟里上升的总高度，并判断这个热气球上升的高度是否能超过125m，请说明理由．
19.（问答题，10分）设a∈R．圆C：（x-1）2+（y-a）2=4．
（1）若a=0，点P的坐标为P（3，-2），Q为圆C上的动点，求线段PQ的中点M的轨迹方程；
（2）若圆C上有且仅有一个点到直线x-y=0的距离等于1，求a的值．
20.（问答题，10分）在数列{a n}（n∈N*）中，a m=4，a m+3=-2，其中m为给定的正整数．（1）若{a n}为等比数列，m=1，求a10；
（2）若{a n}为等差数列，其前n项和为S n，是否存在正整数m，使得S m=0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
21.（问答题，12分）已知椭圆Γ：x2
6+y2
2
=1，F为左焦点，P为直线x=3上一动点，Q为
线段PF与Γ的交点，定义：d(P)=|FP|
|FQ|
．
（1）若点P的纵坐标为5√5，求d（P）；
（2）证明：存在常数m，n，使得md（P）=|PF|+n．。