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济南大学高等数学下历年考题答案
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
B( x, y )
在 整 个 xoy面 内2 xydx x 2dy是 某 个 函 数 的 全 微 分
取积分路径,如图:
则u( x, y )
2
( x, y)
( 0, 0 )
2
2 xydx x dy
2
2 2
OA
xy dx x ydy xy dx x ydy
2
AB
A( x ,0)
2 xdv 2 ydv 0 (由对称性)
上式 dv
2
0
d
1 rdr 2 dz 0 r 2
1
1
3、计算曲面积分 I x 2 dydz y 2 dzdx ( z x)dxdy ,其中 为抛物面 z
1
) ( x n1 )
n 0
(
1 x ) (1 x ) 2 1 x
1
( x 6 y)dxdy,其中 D 是由 y x
D
y 5x 和 x 1 ,
y 5x
所围成的闭区域.
dx ( x 6 y )dy 0
x
1
5x
y x
0
1
2. ( 2 xy3 y 2 cos x )dx (1 2 y sinx 3 x 2 y 2 )dy ,其中
n 1
1 R 1
当x 1时, 级数为 n, 发散
n 1
当x -1时, 级数为 (-1)n1 n,
发散;
故收敛域为(-1,1)
s( x ) nx
n 1
n-1
( x ) ( x
n n 1
n 1
n
) (
1 x ) 2 1 x ( 1 x)
L
L
是抛物线 2 x y
解
2
上从点 (0, 0) 到点 ( 2 ,1) 的一段弧.
2
Q x
P 2 y cos x 6 xy y
L1
积分与路径无关
L2 : x
选取积分路径 O(0,0) A( ,0) B( ,1) 2 2
L2
L1 : y 0, x [0, ] 2
Fy xz
Fy z xz z , y Fz e xy
3、已知
解:
z f ( xy, x y )
2 2
,求
z x
z y
Z x f 1 y 2 xf 2
Z y f1x 2 yf 2
教材章9.4节课后习题8是类似的题
四、计算下列积分(每小题10分,共30分) 1、 ydxdy,其中D是由直线 y x, y x 1, y 0及y 1
1
(1 x )dxdy
由对称性
D
xdxdy 0
D
x dydz y dzdx ( z x )dxdy 2 2
2
五、(10分)求幂级数 nx
n 1
n 1
n 的收敛域及其在收敛区间内的和函数;并求 n1 的值. n1 2
解
n 2 a n 1 l im lim n a n n 1 n
解
等 式 y( x) e 2 x f ( x, x)两 边 关 于 x求 导 ,
y( x) -2e 2 x f ( x, x) e 2 x [ f x ( x, x) f x ( x, x)]
由f u (u, v ) f v (u, v ) uv
即y 2 y x 2e 2 x
z x 2 cos y y
z 2 x cos y xy
2
z 2 x sin y 2 y
2
3计算题:求微分方程
y ln xdx x ln ydy 0
满足初始条件 y | x 1 e 的特解.
分离变量
ln x ln y dx dy x y
ln xd (ln x ) ln yd (ln y )
D
2
0
0
CH10微分方程与差分方程
伯努利方程
dy y 整理成 y2 dx x 1 1 2 dy 化为 y y 1 dx x 做 变 换 z y 1 dz y 2 dy dx dx 则化为线性方程 dz 1 z 1 dx x 1 1
y
x 1 x2 2 2
取上侧,方程为
z
a2 x2 y2
在xoy面 投 影 为 : x2 y2 a2
( x y z )dxdy
2 2 2
x 2 y 2 a 2
2 a dxdy
a
4
四 1. 在已给的椭球面
x 1 z x 1 x sin ( 2 ) 2 cos y y y xy y y
2
2
3.计算 zdS
曲面 是锥面 z
2 2
x 2 y 2 在0 z 1的部分
在xoy面 投 影 为 Dxy : x y 1
zx x x y
2
2
2 0 0
2 4
3( )2 y 2 ]dy 2 2
3. x 3 dydz y 3 dzdx zdxdy ,其中 是圆柱体: x 2 y 2 9, 0 z3
的整个表面的外侧.
解
记所围成的空间区域为
利用高斯公式
3 3 2 2 x dydz y dzdx zdxdy ( 3 x 3 y 1)dxdydz
D
所围成的平面区域.
解:
y
D
ydxdy
dy
0
1
y 1
y
ydx
1
y( y 1 y )dy
0
1
0
x
1 2
2、设 L 为取正向的圆周 x 2 y 2 9 ,计算曲线积分
L
(2 xy 2 y)dx ( x 4 x)dy
2
解:记L所围成的封闭区域为
P 2x 2 y
(柱 面 坐 标 ) d rdr ( 3r 2 1)dz
0 0 0
2
3
3
f (u , v) 具有连续偏导数,且满足 . 求 y( x) e 2 x f ( x, x) f u (u, v) f v (u, v) uv
五、应用题(10分)设
所满足y
y x y
2 2
,
dS 1 z x z y dxdy 2dxdy
2 2 2 x y dxdy zdS
D xy
2 d r rdr
0 0
2
1
4.计算 ( x 2 y 2 z 2 )dxdy , 为上半球面
2 x 2 y 2 z 2 a( z 0)的上侧 .
2 2
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 解:
1
补充 1 : z 1 ( x 2 y 2 1) (上侧)
1围成空间区域 . 在上使用高斯公式,
1 2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy ( 2 x 2 y 1)dv
故收敛区间为(-1,1)
n 0
1
R 1
当x -1时, 级数为 (-1)n (n 1), 发散; 当x 1时, 级数为 ( n 1), 发散
n 0 n 0
故收敛域为(-1,1)
s( x ) ( n 1) x ( x
n n 0 n 0 n1
济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷(A卷) 高等数学A(二)
0
r2 1 0
r i
C1 cos x C2 sinx
3
64
1 2
当 x为端点 x 时, f ( ) f ( ) 收敛于 . 2
C
B
A
A
B
1、
z 2 x sin y x
x y (0 z 1) 取下侧.
2 2
解:
2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy
1 2
1
影 为0 对于 1 : z 1. 向yoz和xoz投
x 2 dydz y 2 dzdx ( z x )dxdy
1
( z x )dxdy
2 2
积分
即
(ln y ) (ln x ) C 2 2 1 将y | x 1 e代 入 上 式 , C
2
特解为
(ln y ) (ln x ) 1
2 2
n ( n 1 ) x 的收敛域及和函数. 4. 求幂级数
解
n 2 an1 l im an n 1 lim n n 1 n a n
ze
dx x
1 x2 [C ] x 2 1 1 x2 [C ] y x 2