cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
n2
(1) 1 2
n1 n2
1
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
n1
2
(2) 1 // 2
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
目录 上页 下页 返回 结束
济南大学1415高等数学 (二)BW参考解答
不存在 . 讨论函数
f
(x,
y)

xy x2 y2
在点
(0,
0)
的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
lim
x0
f
(
x,
y)

lim
x0
x
2
kx2 k2x2

1
k k
2
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2

即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1

n2
1
目录 上页 下页 返回 结束
1 : n1 ( A1, B1, C1) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )
目录 上页 下页 返回 结束
3. 二元函数 f (x, y) 在点( x0, y0 ) 处的全微分存在
A 是f (x , y)在该点连续的(
)
(A) 充分条件. (C) 充分必要条件.
(B) 必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
分析:教材P86-P87 内容
小结 极限，连续，可导，可微的关系图
济南大学1516高等数学 (二)BW参考解答
一．选择题(每小题2分,共10分)
2015.7.7
B 1. 两平面x y z 1和x 2 y z 2的位置关系是 ( )
(A) 相交但不垂直.
(B) 垂直.
(C) 平行但不重合.
(D) 重合.
教材P39-
uur
uur
3解4: 两平面的法向量 n1 (1,1,1), n2 (1, 2,1)
)

A.
n ; B. 1 ;
C. 1 ; D.
sin 1.
n1 n 1
n1 n
n2
n1
n1
n
分析:重要参考级数: 几何级数, p -级数, 调和级数.
A的一般项不趋于零，级数发散(教材P186)
B，C是条件级数 (教材P196-200) ，D 绝对收敛
(教材P198-199)
于是所求平uur面的uur夹角为
cos

n1 n2 uur uur

121
0
n1 n2 1 1 1
综上，两平面的夹角为
1

4
.

1
2
目录 上页 下页 返回 结束
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
目录 上页 下页 返回 结束
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微
偏导数连续
小结 极限，连续，可导，可微的关系图
极限存在
连续
偏导数存在
可微分
偏导数连续
目录 上页 下页 返回 结束
C 4. 点(0,0)是二元函数 f (x, y) x2 y2 的 (
)
(A) 极大值点;
(B) 极小值点;
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f ( x, y )
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
目录 上页 下页 返回 结束
当函数可微时 :
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f ( x, y )
x0 y0
即
函数

zz
=
f f(x( ,xy)
在 点x , y(x,
y)y可) 微f
(函x ,数y )在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微A x B y 偏导数存在 (2z)偏A导 x数连B续 y o ( ) 函数可微
极限存在
连续
偏导数存在
可微分
偏导数连续
目录 上页 下页 返回 结束
全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
lim
x0
f
(
x,
y)

lim
x0
x
2
kx2 k2x2

1
k k
2
y kx
k 值不同极限不同 !
பைடு நூலகம்
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
目录 上页 下页 返回 结束
• 若当点 P ( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数
趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限
aqn
n0
当 当
q q

1时 ,收 敛 1时 ,发 散
1 当p 1时,收敛 n0 n p 当p 1时,发散
1 发散, (1)n1 收敛,
n1 n
n1 n
目录 上页 下页 返回 结束
二、填空题（每小题2分，共10分） 1．求过点( -3 , 2 , 5 ) 且与直线 平行的直线方程_____. 教材P29-35
一．选择题(每小题2分,共10分)
2. 极限
lim
( x, y)(0,0)
xy x2 y2

（ D)
2015.7.7
(A) 0， (B) 1， (C) 2， (D) 不存在.
教材P70- 知道极限不存在的说明方法
7解2: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
(C) 驻点但不是极值点. (D) 不是驻点 P111-P113
分析:
令

fx fy

2x 0, 2 y 0
得驻点
(0,0).
fxx 2, f yy 2, fxy 0
在点(0,0) 处
AC B2 4 0,
不是极值.
目录 上页 下页 返回 结束
C 5. 下列级数中, 收敛的是(