第十章波动学基础本章学习目标1、理解机械波形成和传播的条件。

2、掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波表达式的方法。

3、了解波的叠加原理，理解波的相干条件。

4、掌握两波干涉时振幅加强和减弱的条件。

5、理解波的干涉、了解行波和驻波。

本章教学内容§10-1波动的基本概念§10-2平面简谐波波函数§10-3波的能量§10-4波的叠加§10-1机械波的形成波长周期波速一、机械波1、机械波的定义机械振动在弹性介质中传播形成机械波。

机械振动称为波源，参与振动传播的物质为介质。

水波，绳形成的波，弹簧形成的波，声波等2、产生机械波的必要因素：（1）首先要有一个振动的物体，即波的激发源，称为波源。

（2）波源的外面，还得有能够随波源而振动的介质，称为弹性介质，故机械波又称为弹性波。

形成机械波必须要求介质有弹性，没有弹性或完全刚性的介质内是不能形成机械波的。

在弹性介质中，各质点间是以弹性力互相联系的。

已经开始振动的质点要依靠这种弹性力的作用来维持振动，还没有开始振动的质点也要依靠这种弹性力的作用而陆续介入振动，使振动的状态传播出去，形成波动。

由此可见，波源和弹性介质是机械波产生的两个必要条件。

3、波的分类按照波速和质点振动速度的方向之间的关系，我们可以把波分为横波和纵波两个类型。

（1）横波我们来分析一个简单的、理想的模型，看机械波是如何由波源产生并在介质中传播的。

如下图所示，一根绳子沿x轴放置，绳子的左端o点有一个波源，它在进行简谐振动。

波源带动绳子，就有波不断从o点生成，并沿x轴向前传播。

波的图形称为波形，对于机械波来说，波的传播过程也就是波形推进的过程。

波的传播速度称为波速，观察表明，波在绳子上是匀速传播的。

随着时间的延续，可以看到，波源随时间的余弦振动在空间被匀速地展开，也生成一条余弦曲线，曲线沿着波的传播方向不断向前平移。

为了不分散注意力，在图中我们只作出了从t=0开始从o点发出的波形（实际上波形应该是一直向前伸延的）。

在什么讨论中，有一点应该注意，就是要把波的传播速度和质点的振动速度区分开来。

在图中可以看出，波速是振动状态传播的速度，它是匀速率的，波一直向前传播；而波动中介质质点的振动速度是质点的运动速度，是往复变化的，质点在平衡位置附近来回运动而并不随波逐流。

下面我们定量地讨论这个模型。

我们用x表示波动中各质点的平衡位置，用y表示它们振动的位移。

于是，图中o点的振动方程为0cos()2y A t πω=-t=0时(见最上面一个图)，o点的相位是-π/2，它的位置在平衡位置，且在向正方向运动。

到t=T/4时，o点的相位变为0，它的位移为正最大。

此时o点的下一个考察点a点的位置在平衡位置，且在向正方向运动，即相位为-π/2，这正是t=0时o点的相位。

到t=T/2时，o点的相位为π/2，它的位置在平衡位置，且在向负方向运动。

此时a 点的相位为0，a点下一个考察点b点的相位为-π/2，…到t=T时，从o点开始，沿传播的方向看过去，a、b、c、d各点的相位依次为3π/2、、π、π/2、0、-π/2，是由近及远依次落后的。

（2）纵波在波动中，如果质点振动的方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。

如前面知识点图中的绳波就是横波，横波的图象是峰谷相间的图形。

如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。

如下图中所示，将一根弹簧水平放置，扰动弹簧的左端使其沿水平方向左右振动，就可以看到这种振动状态沿着弹簧向右传播。

纵波的图象是疏密相间的图形。

在空气中传播的声波也是纵波。

4、机械波的特征从上一个知识点的图中我们可以看出谐波的传播有如下两个基本特点：1）各质点振动的周期与波源相同，都等于T，即它们在进行同频振动。

2）若我们在同一时刻(例如刚才分析的t=T时刻)考察各点的相位，振动的相位是从波源开始由近及远依次落后的。

若我们在不同的时刻考察同一个相位，例如-π/2这个相位，从前面的图中可以看到，t=0时它在o点，t=T/4时到达a 点，然后才到b、c、d点，是在由近及远地向前推进，这就是波的传播概念。

波的传播实质上是相位的传播，相位传播实质上是在描述波动中各质点之间相位的关系，它是波动中最基本的概念之一。

二、描写波动过程的物理量1、周期T一个完整波通过介质中一点所需的时间，叫做波的周期，用T表示。

2、波长简谐波传播时，其图象是周期性的，我们把波的同一传播线上两个相邻的同相点(相位差为2π)之间的距离称为波的波长，用λ表示。

由此我们可以判定，相距为整数个波长的两点的振动肯定是同相的（相差为N2π）。

3、波速u波的传播实际上是振动状态即相位的传播，因而，波速实际上指的是相位的传播速度，即相速度（相速）。

即在介质中波源的振动在单位时间内传递的距离。

波速决定于波所处介质的弹性，即介质特性决定了波速。

一个完整波通过这一点的过程中，该处的质点将进行一次全振动，所以波的周期就是该质点的振动周期，也即是波动中介质的所有质点振动的周期。

容易理解，波速u 、波长λ和周期T 三者之间有如下的简单关系u T λ=4、频率ν周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目。

u νλ=5、振幅（波幅）波在形成后，各个质元振动的振幅叫波的振幅或波幅。

除平面波外，介质中各处的波幅一般是不相等的。

6、波阵面、波前和波射线我们把波动过程中，介质中振动相位相同的点连成的面称为波阵面，简称波面，把波面中走在最前面的那个波面称为波前。

由于波面上各点的相位相同，所以波面是同相面。

波面是平面的波称为平面波(如下图(a ))，波面是球面的波称为球面波(如下图(b ))。

描述波的传播方向的有向曲线称为波射线简称波线。

在各向同性的介质中，波线总是与波面垂直，且指向振动相位降落的方向。

所以，平面波的波线是垂直于波阵面的平行直线，球面波的波线是以波源为中心沿半径方向的直线，沿半径向外传播的称为发散波，沿半径向球心传播的称为汇聚波。

(a)平面波的波阵面和波线(b)球面波的波阵面和波线(图中只画出球面波阵面的一部分)§10-2平面简谐波波函数一、平面简谐波的波函数1、什么是波函数在波动中，每一个质点都在进行振动，对一个波的完整的描述，应该是给出波动中任一质点的振动方程，这种方程称为波动方程（或波函数）。

我们知道，简谐波(余弦波或正弦波)是最基本的波，特别是平面简谐波，它的规律更为简单。

我们先讨论平面简谐波在理想的无吸收的均匀无限大介质中传播时的波动方程。

2、平面简谐波的特点我们在上一知识点中知道，（1）平面简谐波传播时，介质中各质点的振动频率相同。

（2）对于在无吸收的均匀介质中传播的平面波，各质点的振幅也相等。

（3）因而介质中各质点的振动仅相位不同，表现为相位沿波的传播方向依次落后。

3、平面简谐波函数设平面简谐波的周期为T，波长为λ，波速为u，对于波线上的两点，见下图所示，若B点比A点距离波源要远l，l称为A、B之间的波程，就是波由A 点到B点所经历的路程。

一个振动状态从A点传到B点需要一段时间Δt=l/u，即A 点的振动到达某一状态后，要过Δt 这么一段时间B 点才到达这个状态，也就是说，B 点的振动要比A 点在时间上落后。

l l t T u λ∆== 由于A 点和B 点在进行同频率的简谐振动，按前面讨论过的两个同频率振动的相位差和时间差的关系，我们可以得到A 点和B 点的相位差2π2πll l Tu uϕωλ∆=== 这表示B 点距离波源比A 点每远一个λ，相位落后一个2π。

从上式我们容易判断，在同一波线上的两点，若它们的距离为整数个λ，则它们的振动同相；若它们的距离为半整数个λ，则它们的振动反相。

下面我们通过对相位的分析给出平面简谐波的波动方程。

如下图所示，设有一列平面简谐波沿x 轴的正方向传播，波速为u 。

取任意一条波线为x 轴，设O 为x 轴的原点。

假定O 点处(即x =0处)质点的振动方程为cos()o y A t ωϕ=+现在考察波线上任意一点P 的振动，设该点的坐标为x 。

如上所述，P 点和O 点振动的振幅和频率相同，而P 点振动的相位比O点落后。

O 点到P 点的波程为x ，则P 点的振动在时间上比O 点落后x t u∆=，故P 点的振动为 (,)cos[()]x y x t A t uωϕ=-+ 也可以通过相位差来进行推导，则P 点的振动在相位上比O 点落后2πxϕλ∆=，故P 点的振动为(,)cos(2)x y x t A t ωπϕλ=-+ 不难验证，以上两个方程实际上是同一个振动的两个不同的表述。

它们都表示的是波线上(坐标为x )的任一点处质点的振动方程，这正是我们希望得到的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。

4、波函数的意义cos[()]cos[2π()]x t x y A t A u T ωϕϕλ=-+=-+ 1、当x 固定时，波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点O 振动的相位差.2πx x u λϕω∆=-=- (,)(,)y x t y x t T =+，波函数具有时间周期性。

2、当t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形。

212112122π2πx x x ϕϕϕλλ-∆∆=-==2πx ϕλ∆∆=波具有空间的周期性3、若,x t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）5、波动过程中质点的振动速度与加速度介质中任一质点的振动速度，可通过波动方程表式，把x 看作为定值，将y 对t 求导数(偏导数)得到，记作y t ∂∂。

以常用的波函数为例，质点的振动速度为 sin ()y x v A t t uωω∂==--∂ 质点的加速度为y 对t 的二阶偏导数：222cos ()y x a A t t uωω∂==--∂ 由此可知介质中各质点的振动速度和加速度都是变化的。

二、平面简谐波波函数的求解例1、见教材315页例2、有平面简谐波沿x 轴正方向传播，波长为λ，见下图。

如果x 轴上坐标为x 0处质点的振动方程为00cos(]x y A t ωϕ=+，试求：(1)波动方程；(2)坐标原点处质点的振动方程；(3)原点处质点的速度和加速度。

解：(1)如图所示，设考察点为x 轴上任意一点，坐标为x 。

从x 0到x 的波程为x-x 0，按相位落后的关系，x 处质点的振动相位比x 0质点落后02x x πλ-，故x 轴上任意一点的振动方程，即波动方程为0cos(2]x x y A t ωπϕλ-=-+ (2)把x=0带入上式，即得原点处质点的振动方程 00cos(2]x y A t ωπϕλ=++(3)原点处质点的速度为0000sin(2)y x v A t t ωωπϕλ∂==-++∂ 加速度为2200002cos(2)y x a A t t ωωπϕλ∂==-++∂ 例3、一简谐波逆着x 轴传播，波速u=8.0m/s 。