证：∵ a2 b2 2ab
b2 c2 2bc c2 a2 2ca 以上三式相加：2(a2 b2 c2 ) 2ab 2bc 2ca
当且仅当a=b=c时等号成立
∴ a2 b2 c2 ab bc ca
例3：1.已知a,b, c都是正数,
求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
猜想：对任意两个正数a、b,
ab a b (a 0,b 0) 2
此不等式是可以证明的，而且证明方法有很多种。
证法1：a
2
b
ab
1 [( a )2 ( b)2 2 a b] 2
1 ( a b)2 0
2
当且仅当 a b 即 a b 时，取“ ”。
证法2：要证
ab a b 2
基本不等式
不等式的一些常用结论： 1、如果a b,则a - b 0,反之也成立; 如果a＜b,则a - b＜0,反之也成立; 如果a＝b,则a - b＝0,反之也成立; 2、a 2 0; | a | 0;
问题引入 ab
• 1、两个正数a，b的等差中项是__2___;
• 两个正数a，b的等比中项是___a_b_;
cos x
cos x
x 0 ，则 x 4 2 x 4 4
x
x
（4）若 x 0
2x 2x 2 2x 2x 2
其中正确的有 （3）,（4）
回顾小结：
1.基本不等式其应用条件； 2.不等式证明的三种常用方法； 3.利用基本不等式去证明其它不等式或求最值。
•2、对两个正数a,b， a b又叫做正数a与b的
___算__术__平___均_.数
2
ab •3、对两个正数a,b， 又叫做正数a与b的
___几__何__平___均_.数
那么两个正数a,b的算术平均数与几何平均 数之间具有怎样的大小关系呢？
基本不等式的证明
试自己列举一些正数a,b,分别计算它们的算术平 均数与几何平均数并比大小，总结规律并猜想：
，
只要证 2 ab a b
只要证 0 a 2 ab b 只要证 0 ( a b)2 因为最后一个不等式成立，所”。以
当且仅当 a b 时，取
ab
a
2
b
成立，
证法3： 对于正数 a, b 有
( a b)2 0
a b 2 ab 0
ab a b 2 ab, ab
2，
证明: a b 2 ab 0, b c 2 bc 0,
c a 2 ac 0,
当且仅当a=b=c时等号成立
(a b)(b c)(c a) 8 ab bc ca 8abc.
思考题：求证: 4 a 7 （a 3）
a3
证明 ：Q a 3a 3 0
4 3 4 (a 3) 3 2 4 g(a 3) 3 2 4 3 7
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿a＿b,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
２、你能用这个图形得出
基本不等式
ab a b (a>0,b>0) 2
几何解释吗?
数学应用：
a3 a3
a3
当且仅当 4 a 3
a3
即a=5时,等号成立.
变式：已知函数
y 4 x, x (3, ) x3
求此函数的最小值并求出此时的x的取值。
巩固练习：
给出下列结论： （1）若 x 0, y 0, 则 lg x lg y 2 lg xlg y
（2）若 （3）若
x 0, 则 1 cos x 2 1 cos x 2
例1、设a,b为正数，证明下列不等式：
（1）b a 2; (2)a 1 2.
ab
ba
a
证明：（1）∵a, b 为正数，∴
, ab
也为正数，பைடு நூலகம்
由基本不等式得
ba 2 ba 2 a b ab
∴原不等式成立。
（2）∵
a, 1 a
均为正数， 由基本不等式得
a 1 2 a1 2
a
a
∴原不等式成立。
例2.已知 a, b, c R 求证： a2 b2 c2 ab bc ca
基本不等式的证明
结论：对任意两个正数a、b,
ab a b (a 0,b 0) 2
即两个正数的算术平均数不大于它们的几 何平均数，当且仅当它们相等时取等号.
我们把不等式
ab a b (a 0,b 0) 2
叫做基本不等式.
当且仅当a=b时取等号“= ”.
思考：你能给出基本不等式的几何解释吗？