A
(1) 确定中性轴的位置
FN
dA
A
A
Ey
dA
M
E
A ydA 0
z
C
y
z
x
dA
σ
y
静矩
Sz
ydA 0
A
横截面对z轴的静矩
ydA A
yc
A0
yc
0
—— 中性轴 Z 一定通过横截面形心
结论:中性轴通过形心,与形心轴重合.
(2) 确定形心主轴
M y
zdA
A
A
z
Ey dA
M
E
A
yzdA
抗拉压强度不等的材料
t max
M max y1 Iz
[ t ]
c max
M max y2 Iz
[ c ]
强度计算的步骤
根据正应力强度条件，可解决工程中的三类问题：
⑴ 强度校核 ⑵ 截面设计
max
M max Wz
Wz
M max
⑶确定容许荷载 M Wz
例题： 1、一外伸梁受力如图所示，材料的许用应力[]=160MPa, 横截面 为h/b=3的矩形，试确定此梁横截面尺寸h和b。
1、几何关系
研究距中性层y处纵向纤维ab的变形：
原长
——
ab o1o2 d

变形后 ab y d
( y)d d y
d
——中性层弯曲后的曲率半径
2、物理关系
M
E y E
z
C
x
σ
y
3、静力学关系
z
M
C
y
z
x
dA
σ
y
FN
dA 0
A
M y
z dA 0
A
M z
y dA M
0
惯性积
I yz
yzdA 0
A
结论:y z 轴必为形心主轴
z
C
y
z
x
dA
σ
y
(3) 导出弯曲正应力公式
M z
y dA
A
Ey
A y dA
M
E y 2dA M
A
惯性矩
IZ
y 2 dA
A
z
C
y
z
x
dA
σ
1 M
y
EI z
EI
——截面的抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力
z
解出:
My
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QSz*
Izb
QSz*
Izb
式中： Q —横截面上剪力 Sz*—需求剪应力处，水平线以下（或以上）部分A*面积对 中性轴的静矩。 Iz —整个横截面对中性轴的惯性矩。
b—需求剪应力处横截面宽度。
3Q 2bh3
(h2
4y2)
从上式可知，剪应力分布是沿 梁的高度按抛物线规律分布.
max
MC Iz
y2
由于 MC y2 M A y1 ，最大拉应力发生在C截面下边缘
max
C max
MC y2 Iz
34.5MPa
40MPa
拉应力强度足够。
A截面
C截面
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
Amax
M A y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 M A y2 MC y1 ，最大压应力发生在A截面的下边缘
l
A
yq
B
x
AB
x
0.2l
l 0.2l
M
0.125ql 2
M
0.025ql 2
(+)
0
x
0
0.02ql 2
x
3 等强度梁 等强度梁:梁上各横截面上的最 大应力都相等且等于许用应力.
max
M (x) W (x)
[ ]
W (x) M (x)
[ ] 1. h =c ,b = b(x)
W (x) b(x)h2 M (x)
根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象 相一致，可提出如下假设：
a. 平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是 转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。
b. 各纵向纤维间无正应力假设：梁由无数纵向纤维组成，各 纤维只受拉伸或压缩，不存在相互挤压
为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算， 要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。
max
Qmax
S
* z max
Izb
7 9
在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的 正应力强度条件和剪应力强度条件。在工程中，通常先按正 应力强度条件设计出截面尺寸，然后进行剪应力强度校核。
例题：试为图示外伸梁选择一工字形截面， 材料的许用应力 []=160MPa，[]=80MPa。
3FQ max 2A
3F 4bhmin
[
]
hmin
3F
4b[
]
鱼腹梁 阶梯轴
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树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.2420 .10.24Saturday , October 24, 2020
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人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 7:01:41 17:01:4 117:01 10/24/2 020 5:01:41 PM
图 7-5
Q Izd
b 2
(
h2 4
h12 ) 4
d ( h12 24
y
2
)
（按抛物线规律分布）
由式可知： y h1 时， 最小；
2
y 0 时， 最大。
max
Q Izd
( bh2 8
bh12 8
dh12 ) 8
min
Q Izd
bh2 (
8
bh12 ) 8
图 7-5
3. 圆形截面梁横截面上的最大剪应力
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牢记安全之责，善谋安全之策，力务 安全之 实。202 0年10 月24日 星期六5 时1分4 1秒Saturday , October 24, 2020
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相信相信得力量。20.10.242020年10月 24日星 期六5 时1分41 秒20.1 0.24
谢谢大家！
max
Amax
M A y2 Iz
69MPa
100MPa
压应力强度足够。
§10–4 弯曲剪应力
1、矩形截面梁
矩形截面梁的剪应力（推导略）
在推导矩形截面梁的剪应力公式时，作如下两点假设：
①假设矩形截面上剪应力 的方向和剪力Q的方向相同。
②假设截面上剪应力 沿宽度b是均匀分布的。
导出的剪应力计算式为：
a. 圆截面：
最大剪应力发生在中性轴上各点处
max
4 3
Q A
最大剪应力是平均剪应力
平
Q的
A
4 3
倍。
b.薄壁圆截面
最大剪应力发生在中性轴上各点处：
max
2
Q A
最大剪应力是平均剪应力 平
Q A
的2倍。
4. 剪应力强度条件
梁内最大剪应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴 上，若以 Sz*max表示中性轴以下（或以上）部分面积对中性轴 的静矩，则梁的剪应力强度条件为：
二、纯弯曲时的正应力
（由实验观察得如下现象：）
a. 变形后，所有横向线仍保持为直 线，只是相对倾斜了一个角度。
b. 变形后，所有纵向线变成曲线， 仍保持平行;上、下部分的纵向线分 别缩短和伸长 。
中性层：梁内存在一个纵向层，在 变形时，该层的纵向纤维即不伸长 也不缩短，称为中性层。中性轴： 中性层与横截面的交线。
例2：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已
知材料的容许拉应力为 试校核梁的强度。
40
MPa,容许压应力
100
MPa
Z
解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
Mc 10KN .m 最大负弯矩
M A 20KN .m
（二）确定中性轴的位置
截面形心距底边
yc
30 170 85 30 200 185 30 170 30 200