广东省深圳市高级中学2019-2020学年下学期（在线）期中考试高一数学试题全卷共计150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知{},1A a =，{}2,B a =，且{}1,2,4A B =，则A B =（）A. {}1,2B. {}2,4C. {}4D. ∅ 2.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A ．2y x =B ．2log y x =-C ．3x y =D ．3y x x =+3.α是第三象限角，且3sin α=，则tan α=（） A. 3- B.3C. 3-D.3 4.已知向量,a b 的夹角为60，2,1a b ==，则2a b +=（） A. 23B.3C. 4D. 25.若ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，60,43,42A a b ∠===B ∠的度数为（） A. 45或135B. 45C. 135D. 906.在a ，b 中插入n 个数，使它们和a 、b 组成等差数列12,,,,,n a a a a b ，则12n a a a +++=（）A. ()n a b +B.()2n a b +C.()()12n a b ++D.()()22n a b ++7.若0a b >>，0c d <<，则一定有（） A. a b c d>B.a b c d< C. a b d c> D.a b d c<8.在等比数列{}n a 中，若15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =（）A. 1B. 1-C.12D. 12-9.已知函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．(]4,4-D ．(]4,2-10.圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，且圆锥的体积18V π=，则圆锥的表面积为（） A. 185πB. ()9125π+C. 95πD. ()915π+11.函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．12.设2,0a b b +=>，则12a a b +的最小值为（） A.14B.34C.12D.54第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1a =____. 14.已知tan 2α=，则sin 3cos 2sin cos αααα-=+________.15.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为11B C 中点，连接11,A B D M ，则异面直线1A B 和1D M 所成角的余弦值为________.16.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，M 是BC 的中点，2=BM ，b c AM -=，则ABC ∆面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知{}{}2240,230A x x B x x x =-+<=--<，求AB 及A B .MC 1D1B 1118.（12分）已知在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2cos 2c B a b =+. （1）求角C 的值； （2）若2a b =，求tan A .19.（12分）某中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．（1）若学生宿舍建筑为x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和，写出()y f x =的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？20.（12分）已知())222sin cos cos sin f x x x x x =-. （1）求函数()y f x =的最小正周期和对称轴方程； （2）若50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域.21.（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，223422,2S a S a =-=-. （1）求等比数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .22.（12分）已知函数()()2f x ax bx c a b c =++>>的图象上有两点()()11,A m f m ，()()()2212,B m f m m m ≠. 函数()f x 满足()10f =，且()()()()120a f m a f m ++=.（1）求证：122c a -<<-； （2）求证：0b ≥；（3）能否保证()13f m +和()23f m +中至少有一个为正数？请证明你的结论.广东省深圳市高级中学2019-2020学年下学期（在线）期中考试高一数学试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C DBABBDACDCB二、填空题 13. 114. 15-15.10516. 23三、解答题 17.()(),22,A =-∞-+∞……2分 ()1,3B =-……4分 所以()2,3AB =，……7分 ()()21,A B =-∞--+∞；……10分18.（1）因为()2sin cos 2sin sin 2sin cos 2sin cos cos sin sin C B A B C B B C B C B =+⇒=++1cos 2C ⇒=-，C 是三角形内角，0120C =.……6分 （2）根据余弦定理222cos 7c a b ab C b =+-=……8分 根据正弦定理sin sin A Ca c =，所以233sin sin 277a b A C c b ===……10分所以3tan 2A =……12分19.（1）由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元， 且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：万元． 建筑第1层楼房建筑费用为：万元．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元．……3分建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为：()()217202010001071010002x x y f x x x x -==+⨯+=++所以()()21071010001,f x x x x x Z =++≥∈……6分（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为()g x ，则：()()10.710.710.911000100f x x g x x x ==++≥=……9分 当且仅当1100x x=，即10x =时上式等号成立．……11分 答：应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米0.91万元．……12分20.（1）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭……3分令()232x k k Z πππ+=+∈，()f x 的对称轴为()212k x k Z ππ=+∈ ……4分 最小正周期22T ππ==……5分（2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ……7分因为sin y x =在32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，在726ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，在2x π=取最大值，在76x π=取最小值……9分所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……11分所以()[]1,2f x ∈-……12分21.（1）2222S a =-①342S a =-② ②-①，得3422a a a =-，则220q q --= ……2分 又0q >，所以2q =……3分 因为2222S a =-，所以12222a a a +=- 所以12a =……5分所以2nn a =……6分 （2）n b n =……7分 所以()111+++12231n T n n =⋅⋅+……9分1111111122311n n n =-+-++-=-++ ……12分22.（1）证明：()10f a b c =++=且a b c >>，所以0,0a c >< ……1分 因为b a c =--，所以a a c c >-->， ……2分 所以122c a -<<-……3分（2）因为()()()()120a f m a f m ++=，所以()1f m a =-或()2f m a =-，即1m 或2m 是方程()f x a =-的一个实根，即20ax bx c a +++=的有根， ……4分 所以()240b a a c ∆=-+≥，……5分 因为b a c =--，所以()244b a a c ab ≥+=-，……6分 即()40b b a +≥，即()30b a c -≥，因为30a c ->，所以0b ≥ ……7分 （3）设()0f x =的两根为12,x x ，显然其中一根为1，另一根为ca设()()1c f x a x x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，……8分若()1f m a =-，则()1210c a m m a a ⎛⎫--=-< ⎪⎝⎭所以11c m a <<，所以1331cm a+>+>……10分又函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以()()1310f m f +>=. 同理当()2f m a =-时，()230f m +>所以()13f m +，()23f m +中至少有一个是正数.……12分。