解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度


l
i

1 3000 23.1
129.9

p
123
大柔度杆
由欧拉公式
lj

2E 2


2 200 103 129 .92
117 MPa
Plj lj A 117 4200 491 .3kN P 500 kN 所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。
二、欧拉公式的适用范围
λ p—分界柔度，取决与
lj
2E 2
p
或

2E p
p
材料的力学性质。A3钢：
E 200GPa, p 200EPa, p
2 200000 100
200
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三、超出比例极限时压杆的临界力 临界应力总图
临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时
的应力。
lj

Plj A

2EI
l2 A

2E
l 2

I A

2E
l 2
i2

2E 2
其中：i I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝ l 称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。
i
•解：查表得20a号工字钢:
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
2 EI
•临界压力按公式 plj l 2
计算
2EI 2 200 106 158 10 8
Plj l 2
32
346 kN
•由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便
会丧失稳定。
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当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压 杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
lj a b2; Plj lj A (a b2)A;
式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668；
16锰钢：a＝343,b＝0.0142。
• 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承
情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。
可见，改善支承条件可有效提高压杆稳定性。若采用加大截面
为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
支承减小杆长），则μ＝0.5,


l
i

129.9 2

64.95
p
123
为超出比例极限的失稳，应采用经验公式计算临界应力。
lj a b2 235 0.0066864.952 206.8MPa
Plj lj A 206 .8 4200 868 .7kN P 500 kN
一端固定，一端自由压杆：μ＝2；
两端铰支细长压杆：
μ＝1；
一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7；
两端固定细长压杆：
μ＝0.5；
不同支承情况的临界力公式可查表确定。
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• 例10-1 一根两端铰支的20a号工字钢压杆，
长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定 其临界压力。
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二、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。
也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：
Plj

2 EI m in (l)2
式中： E材料的弹性模量；
Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
d2y dx2
M (x) EI
Plj EI
y;
令 Plj EI

k
2
,
则有
d2y dx2

k
2
y

0;
其通解为y c1 sin kx c2 cos kx;
由边界条件x 0, y 0; x l, y 0;
（1）计算最大刚度平面 内的临界压力（即绕y轴失稳）。
中性轴为y轴： Iy=120×2003/12 =80×106mm4 =80×10-6m4
木柱两端铰支，，则得：
Plj

2EIy
l 2

3.142 10103 80106
1 80002
123kN
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178KN
比较计算结果可知：第一种情况临界压
力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明， 当最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况 不同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳 ，必须经过计算才能最后确定。
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第三节 压杆的临界应力
一、临界应力与柔度
• （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。
•
中性轴为z轴： Iz

200 120 3 12

28.8 10 6 mm 4
28.8 10 6 m4
木柱两端固定，，则得：
Plj

2EIz
l 2

3.142
10103 28.8106
0.5 80002
临界应力总图—临界应力
lj与柔度的函数关系曲线。


c
: 大柔度杆； lj

2E 2
;
c :中小柔度杆； lj a b2;
λ c—修正的分界柔度。
A3钢：λ c=123；16锰钢：λ c＝102。 返回 下一张 上一张 小结
例10-3 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。 钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。
得c2 0;c1 sin kl 0;
因为c1 0,所以sin kl 0;得kl n (n 0、1、2、n)；
则
Plj

n2 2EI
l2
(n

0、1、2、n);
n取不为零的最小值，即 取n 1,所以
Plj

2EI
l2
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）