临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力， 称作临界压力或临界荷载。
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第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
d2y dx2
M (x) EI
Plj EI
y;
令 Plj EI
k 2 ,则有 d 2 y dx2
当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压 杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
lj a b2; Plj lj A (a b2)A;
式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668；
16锰钢：a＝343,b＝0.0142。
二、欧拉公式的适用范围
λp—分界柔度，取决与
lj
2E 2
p
或

2E p
p
材料的力学性质。A3钢：
E 200GPa, p 200EPa, p
2 200000
100 200
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三、超出比例极限时压杆的临界力 临界应力总图
•
A 4850
•

w




3



0.253160

40.48MPa

[
];
• 误差为： •
w w
100%
40.48 41.23 100% 1.85% 40.48
•
实际工作应力不超过许用应力的5%规定， 故所选25a号
工字钢符合稳定性要求。
(5)强度校核：因截面有局部削弱，应对削弱截面进行强度 校核。从型钢表中查得25a号工字钢腹板厚mm,所以横 截面C处的净面积为
由 0.5, 求柔度 l 0.510000 126.6;
i
39.5
查值，用插值公式求得： 0.466 0.401 0.466 (126.6 120) 0.423;
130 120
[P] [ ]A 0.423140 21274 150.9kN
178KN
比较计算结果可知：第一种情况临界压
力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明，当 最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况不 同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳， 必须经过计算才能最后确定。
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第三节 压杆的临界应力
一、临界应力与柔度
临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时
的应力。
lj

Plj A

2EI
l2 A

2E
l 2

I A

2E
l 2
i2

2E 2
其中：i I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝ l 称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。
i
•
第11章 压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念
第二节 细长压杆的临界力
第三节 压杆的临界应力
第四节 压杆的稳定计算
第五节 提高压杆稳定的措施
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•
第一节 压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。 （指受压杆件其平衡状态的稳定性）
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
]

( )
二、压杆的稳定计算
1. 稳定计算：由P、A、I、l、μ，求λ，查φ，校核σ。
2. 确定许可荷载：由A、I、l、μ、E，求[P]=φ[σ].A。
3. 设计截面：由P、l、μ，求A、I。因A、φ均未知，故
用试算法计算；
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例10-5 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端铰接，

2 EI m in (l)2
式中： E材料的弹性模量；
Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl计算长度；
长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆：μ＝2；
两端铰支细长压杆：
μ＝1；
一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7；
两端固定细长压杆：
μ＝0.5；
不同支承情况的临界力公式可查表确定。
I ;
4
4
64
i I d 7mm; 1;
A4


l
i
11000 7
142.9

p
123;
大柔度杆；
lj

2E 2


2 200000 142 .92
96.7MPa
Plj lj A 96.7 615 .75 59.6kN NBA;
木柱稳定。
例10-6 求钢柱的许可荷载[P]。已知钢柱由两根10号槽钢组成，
l＝10m,两端固定，[σ]＝140MPa。
解：查型钢表，A=12.74cm2， Iy=25.6cm4, Iz＝198.3cm4, iz=3.95cm， zo=1.52cm;
I y 2[25.6 12.74(1.52 2.5)2] 463cm4 Iz Imin
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax： Y 0, NBA sin Pmax 0; Pmax NBA sin 59.6
4 5

47.7kN;
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
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• 第四节 压杆的稳定计算
一、 稳定条件


Plj l 2
32
346 kN
•由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便
会丧失稳定。
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• 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承
情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。
临界应力总图—临界应力
lj与柔度的函数关杆； lj

2E 2
;
c :中小柔度杆； lj a b2;
λc—修正的分界柔度。
A3钢：λc=123；16锰钢：λc＝102。 返回 下一张 上一张 小结
例10-3 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。 钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。
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• 例10-1 一根两端铰支的20a号工字钢压杆，
长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定 其临界压力。
•解：查表得20a号工字钢:
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
2 EI
•临界压力按公式 plj l 2
计算
2EI 2 200 106 158 10 8
为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
支承减小杆长），则μ＝0.5,


l
i

129.9 2

64.95
p
123
为超出比例极限的失稳，应采用经验公式计算临界应力。
lj a b2 235 0.0066864.952 206.8MPa
Plj lj A 206 .8 4200 868 .7kN P 500 kN
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• 例10-7 图示立柱，一端固定，另一端自由，顶部受轴向压力
P=200KN的作用。立柱用工字钢制成，材料为A3钢，许用应力为 。在立柱中点横截面C处，因构造需要开一直径为
d=70mm的圆孔。试选择工字钢型号。
解：（1）第一次试算：先假定φ1=0.5
得
A
解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度


l
i

1 3000 23.1
129.9

p
123
大柔度杆
由欧拉公式
lj

2E 2


2 200 103 129 .92
117 MPa
Plj lj A 117 4200 491 .3kN P 500 kN 所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。
k2y
0;
其通解为y c1 sin kx c2 cos kx;
由边界条件x 0, y 0; x l, y 0;
得c2 0;c1 sin kl 0;
因为c1 0,所以sin kl 0;得kl n (n 0、1、2、 n)；
则
Plj

n2 2EI
• （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。
•
中性轴为z轴： Iz

200 120 3 12

28.8 10 6 mm 4
28.8 10 6 m4
木柱两端固定，，则得：
Plj

2EIz
l 2

3.142
10103 28.8106
0.5 80002

P
1


200 103 0.5 160
2500mm2
，则由式