数学思维与训练 高中（三）
------------向量复习专题
向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。
题型多为选择或填空题，向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。
最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。
附Ⅰ、平面向量知识结构表
1． 考查平面向量的基本概念和运算律
此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。
1．(北京卷) | a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为
（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．(江西卷·理6文6) 已知向量
（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
3．(重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向
量与
的夹角为
（ C ）
A ．
B ．
C ．
D ．－ 4．(浙江卷)已知向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有|
－t |≥|
－|，则
（ ）
向量
向量的概念
向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件
定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用
A．⊥B．⊥(－)C．⊥(－)D．(＋)⊥(－)
5 ．(上海卷5)在△中，若，，则 .
6.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________。
7.已知向量，满足=1，与的夹角为，若对一切实数
x ,恒成立，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
8.(天津质量检测)已知、为非零向量，，若，当且仅当
时，取得最小值，则向量、的夹角为___________.
２．考查向量的坐标运算
1．在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，若，则=
2．（天津卷·理14)在直角坐标系x Oy中,已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB
的平分线上且||=2,则=
3．已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
4．（新课程卷）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，已知向量点满足
.曲线，区域
.若为两段分离的曲线，则( )
A. B. C. D.
6. .(全国统一考试数学浙江)设是边上一定点，满足，且对于边
上任一点，恒有，则（）
A. B. C. D.
３．平面向量在平面几何中的应用
1． (全国卷Ⅰ·文11)点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
，则点O是△ABC的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点D．三条高的交点
2．（湖北省）在四边形ABCD中，＝＋2，＝－4－，＝－5－
3，其中，不共线，则四边形ABCD为( )
A.平行四边形
B.矩形
C.梯形
D.菱形
3．已知有公共端点的向量，不共线，＝1，=2,则与向量，的夹角平分线平行的单位向量是 .
4．已知直角坐标系内有三个定点，若动点P满足：
，则点P的轨迹方程。
5、（河北衡水中学一模）在中，是边中点，角，，的对边分别是，，，若，则的形状为．
6、中，角所对的边分别为，若，则
的最小角的余弦值为_________.
7、（上海，理16）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四
棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个
点，则（=1,2，…）的不同值的个数为（）
（A）1 (B)2 (C)4 (D)8
8.的三个内角A、B、C成等差数列，，则一定是（）
A．直角三角形B．等边三角形 C．非等边锐角三角形 D．钝角三角形
4．平面向量与三角函数、函数等知识的结合
1．(江西卷·文18)
已知向量.
求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.
2．（山东卷·理17)已知向量和，且求的值.
3．(上海卷·文19)已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数.
（1）求的值；
（2）当满足时，求函数的最小值.
５．平面向量与解析几何的交汇与融合
1．(江西卷·理16文16)以下同个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲
线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则
动点P的轨迹为椭圆；
③双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）
2．（新课程卷）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足
则的轨迹一定通过△的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3（新课程辽宁卷）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点），
则等于
A． B.
C. D.
以下是向量在平面几何中的几个结论：
①在平行四边形中，
若，则，即菱形模型．
若，则，即矩形模型．
②在中，若，是的外心；
一定过的中点，通过的重心；
若，则是的重心；
若，则是的垂心；
向量必通过的内心；
4（肥市2014年高三第二次教学质量检测数学试题（理）】在平面直角坐标系中，点是由不等式组所确定的平面区域内的动点，是直线上任意一点，
为坐标原点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
5(全国卷Ⅰ·理15)△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m= . 1
6（江苏）在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_____
7若O是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为__ __；
8.为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为_
9．P是△ABC所在平面上的一点，且++=，则点P的位置是…………（）（A）一定在AB边上（B）一定在BC边上（C）一定在AC边上（D）不能确定
10 椭圆的两焦点分别为、，且过点（0,2）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的最大值和最小值．
11. 已知平面上一个定点C（－1，0）和一条定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为，（＋2）（－2）＝0.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）求·的取值范围．
.。