习题一1-1.质点运动学方程为：cos()sin(),r a t i a t j btk ωω=++其中a ，b ，ω均为正常数，求质点速度和加速度与时间的关系式。

分析：由速度、加速度的定义，将运动方程()r t 对时间t 求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。

解：/sin()cos()==-++v dr dt a t i a t j bk ωωωω2/cos()sin()a dv dt a t i t j ωωω⎡⎤==-+⎣⎦1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2/d d v v K t -=， 式中K 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为 0Kxv v e-= 。

其中0v 是发动机关闭时的速度。

分析：要求()v v x =可通过积分变量替换dxdvv dt dv a ==，积分即可求得。

证：2d d d d d d d d v x vv t x x v t v K -==⋅= d Kdx v =-v⎰⎰-=x x K 0d d 10v v v v , Kx -=0ln v v0Kxv v e -=1-3．一质点在xOy 平面内运动，运动函数为22,48x t y t ==-。

（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。

分析：将运动方程x 和y 的两个分量式消去参数t ，便可得到质点的轨道方程。

写出质点的运动学方程)(t r表达式。

对运动学方程求一阶导、二阶导得()v t 和()a t ，把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、加速度。

解：（1）由2,x t =得：,2x t =代入248y t =-可得：28y x =-，即轨道曲线。

画图略 （2）质点的位置可表示为：22(48)r ti t j =+- 由/v dr dt =则速度：28v i tj =+ 由/a dv dt =则加速度：8a j =则：当t=1s 时，有24,28,8r i j v i j a j =-=+=当t=2s 时，有48,216,8ri j v i j a j =+=+=1-4．一质点的运动学方程为22(1)x t y t ==-，，x 和y 均以m 为单位，t 以s 为单位。

（1）求质点的轨迹方程；（2）在2t s =时质点的速度和加速度。

分析同1-3.解：（1）由题意可知：x ≥0，y ≥0，由2x t =，，可得t x =,代入2(1)y t =-整理得：1y x =-，即轨迹方程（2）质点的运动方程可表示为：22(1)r t i t j =+-则：/22(1)v dr dt ti t j ==+- /22a dv dt i j ==+因此, 当2t s =时，有242(/),22(/)v i j m s a i j m s =+=+ 1-5．一质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为2012s v t bt =-，其中v 0，b 都是常量。

（1）求t 时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b ； （3）到加速度大小等于b 时质点沿圆周运行的圈数。

分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程()t s s =，求导可求出质点的运动速率dtds v =，因而，dt dv a =τ，2n v a ρ=，00n a a a n ττ=+，22n a a a +=τ，当b a =时，可求出t ，代入运动学方程()t s s =，可求得b a =时质点运动的路程，Rsπ2即为质点运动的圈数。

解：（1）速率：0dsv v bt dt ==-，且dvb dt=-加速度：2200000()v bt dv v a n b n dt Rττρ-=+=-+则大小：222220()nv bt a a a b R τ⎡⎤-=+=+⎢⎥⎣⎦……………………①方向：()bRbt v 20tan --=θ（2）当a=b 时，由①可得：0vt b=（3）当a=b 时，0v t b =，代入201,2s v t bt =-可得：202v s b =则运行的圈数 2024==v s N R bRππ 1-9．汽车在半径为400m 的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为-110m s ⋅，切向加速度的大小为-20.2m s ⋅。

求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。

分析：由某一位置的ρ、v 求出法向加速度n a ，再根据已知切向加速度τa 求出a 的大小和方向。

解：法向加速度的大小222100.25(/),400===n v a m s ρ 方向指向圆心总加速度的大小222220.20.250.32(/)=+=+=n a a a m s τ如图1-9，tan 0.8,3840',naa ταα===︒则总加速度与速度夹角9012840'θα=︒+=︒1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为0v ，与水平方向成α角．求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为2/ n a v ρ=。

分析：运动过程中，质点的总加速度 a g =。

由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小0v v =，其方向与水平线夹角也是α。

可求出 n a ，如图1-10。

再根据关系2 / n a v ρ=求解。

解：切向加速度 a g a sin =τ 法向加速度 a g a n cos = 因 αρρcos 2022g a a n n v vv==∴=1-13．离水面高为h 的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率v 0拉绳子，求当船离岸的距离为s 时，船的速度和加速度的大小。

分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。

小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为0v 。

可以由0v 求出船速v 和垂直绳的分量1v 。

再根据21n v a ρ=关系，以及n a 与a 关系求解a 。

解：如图1-13，20v v = 船速2sec v v θ= 当船离岸的距离为s 时， 220012,tan v h s h v v v v s s θ+=== 则，22112222cos n v v s a a as hs hθρ====++即：2203=v h a s第二章2—13．一质量为m 的小球最初位于如图2-13所示的A 点，然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB 下滑，试求小球到达C 点时的角速度和对圆轨道的作用力.分析：如图2—13，对小球做受力分析，合力提供向心力，由牛顿第二定律，机械能守恒定律求解。

解：221cos mv mgr =α…………① 又：,v r v r ωω=⨯=此时,………②由①、②可得： 2cos g rαω=2cos v N mg m rα-=……③由①、③可得，N=3mgcos α题图2－13图2－13gt avααna α0v图1-102—14．质量为m 的摩托车，在恒定的牵引力F 的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到最大速率是m v ⋅ 试计算从静止加速到/2mv 所需的时间以及所走过的路程。

分析：加速度等于零时，速度最大，阻力为变力，积分求时间、路程。

解：设阻力2(0)f kv k =>，则加速度F f a m-=，当a=0时，速度达到最大值m v ，则有：22220,,:m mmF kv FF k f v m v v -===从而 又F f dva m dt-==，即：22m F F v v dvm dt-=…………①22/22002/200(1)(1)1ln 21m m mtv mv t mm m Fdv dt v mv Fdv dt v m v v v v F t v m v =-=-⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ln 32mmv t F=，即所求的时间 对①式两边同乘以dx ，可得：22m F F v v dvdx dx m dt-=2222/2220/22220022ln()24ln 0.14423m m m m xv m m v xmm mmv v Fdx dv m v v v v Fdx dv m v v v F x v v m mv mv x F F=-=-⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=≈⎰⎰2-15．如图2-15所示，A 为定滑轮，B 为动滑轮，3个物体的质量分别为m 1=200g ，m 2=100g ，m 3=50g.（1）题图2－15求每个物体的加速度（2）求两根绳中的张力（滑轮和绳子质量不计，绳子的伸长和摩擦力可略）。

分析：相对运动。

1m 相对地运动，2m 、3m 相对B 运动，212T T =。

根据牛顿牛顿定律和相对运动加速度的关系求解。

解：如下图2-15，分别是m 1、m 2、m 3的受力图。

设a 1、a 2、a 3、a Β分别是m 1、m 2、m 3、B 对地的加速度；a 2B 、a 3B 分别是m 2、m 3对B 的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式'1111m g T m a -+=……………① '2222m g T m a -+=…………②3233m g T m a -+=……………③又：2233B B B Ba a a a a a =+=+且：23B B a a =-则：2312,,B B a a a a a +==-且则：2312a a a +=-…………④ 又：''1122T T T T ==+…………⑤ '22T T =…………⑥则由①②③④⑤⑥，可得：22111222121221231243 1.96/3454 1.96/345543 5.88/345m m ga g m s m m m m ga g m s m m m m ga g m s m m ⎧-==-=-⎪+⎪⎪-=-=-=-⎨+⎪⎪-===⎪+⎩（2）将a 3的值代入③式，可得：1221280.78434m m gT N m m ==+。

122 1.57T T N == 2-34．设76()Fi j N =-。

（1）当一质点从原点运动到3416(m)ri j k =-++时，求F所作的功；（2）如果质点到r 处时需0.6s ，试求F 的平均功率； （3）如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化。

分析：由功、平均功率的定义及动能定理求解，注意：外力作的功为F 所作的功与重力作的功之和。

解：（1）0F dr⋅⎰rA=(76)()i j dxi dyj dzk -⋅++⎰r=图2－1576dx dy -⎰⎰-34=45J =-，做负功 （2）45750.6A PW t === （3）0rkE A mgj dr∆=+-⋅⎰= -45+4mgdy -⎰= -85J2-37．求把水从面积为250m 的地下室中抽到街道上来所需作的功。