经济数学中的边际与弹性分析朱文涛（健雄职业技术学院 商贸系，江苏 太仓 215411）摘 要：边际与弹性是经济数学中的重要概念, 是微分学在经济分析中应用的一种有效的方法。

本文从经济数学理论中的“边际”和“弹性”出发 ,对目前企业管理中常见的几个问题进行了数学化讨论和数学模型的建立 ,包括最低成本、最优利润和价格变动对销售收入的影响模型等。

关键词：边际；弹性；经济数学中图分类号：F224 文献标识码：A边际分析和弹性分析是经济数量分析的重要组成部分，是微分法的重要应用。

它密切了数学与经济问题的联系。

在分析经济量的关系时，不仅要知道因变量依赖于自变量变化的函数关系，还要进一步了解这个函数变化的速度，即函数的变化率，它的边际函数；不仅要了解某个函数的绝对变化率，还要进一步了解它的相对变化率，即它的弹性函数。

经过深层次的分析，就可以探求取得最佳经济效益的途径。

一、 边际及其经济意义边际作为一个数学概念, 是指函数y= f(x)中变量x 的某一值的“边缘”上y 的变化。

它是瞬时变化率, 也就是y 对x 的导数。

用数学语言表达为：设函数y= f(x)在(a, b)内可导, 则称导数)('x f 为f(x)在(a, b)内的边际函数；在0x 处的导数值)(0'x f 称为f(x)在0x 处的边际值。

根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际收益、边际利润、边际产值、边际消费、边际储蓄等。

本文主要分析前三个边际函数的应用。

1、边际成本。

在经济学中,把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本 ,边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC= C ′(q)。

2、边际收益。

是指销售量增加一个单位时所增加的总收益或增加这一个单位的销售产品的销售收入，是总收入函数在给定点的导数，记作MR= C ′(q)。

3、边际利润。

对于利润函数 L (q) = R(q) - C(q) ,定义边际利润为 L ′(q) =R ′(q) – C ′(q)=MR-MC ,表示指销售量增加一个单位时所增加的总利润或增加这一个单位销售量时利润的改变量。

二、边际理论的应用模型边际分析理论是当代经济理论中数学方法的基础之一，可用来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部生产资料同劳动数量之间最合理的比例；确定企业的最佳规模，直至最合理的分配整个社会的资源等问题。

下面主要探讨一下，如何利用边际理论决策最低成本、最优利润，以提高企业经营管理水平。

1. 建立最低成本的模型从图1可知，由于平均成本包括有产量的增加而始终递减的固定成本，同时它又是按全部产量平均计算的，所以它的曲线由递减转为递增较边际成本曲线为迟。

边际成本与平均成本之间有一个很重要的关系。

从上图来看，当平均成本与边际成本相等时，MC=AC ，平均成本为最低，也就是说，边际成本曲线MC 与平均成本曲线AC 相交于平均成本曲线的最低点处F 处。

这一点就是通常所谓的“经济能量点”或“经济有效点”，也就是成本最低的一点。

企业家应该把生产规模调整到平均成本的最低点（即F 点），才能使生产资源得到最有效的利用，增加盈利。

建立模型的程序如下：第一步：建立子模型MC=dQdTC （1） AC=Q TC （2） 其中：Q —产量；TC —总成本；AC —平均成本；MC —边际成本第二步：建立最优化成本数学模型。

（推导略）⎪⎩⎪⎨⎧==的第二阶导数大于零）AC dQdAC AC MC (0 （3） 满足上述（3）的Q 值的生产规模，可以使AC 达到最小值。

举例：TC （Q ）=300+6Q+0.02Q 2MC=TC '（Q ）=dQdTC =6+0.04Q AC=Q QQ Q Q Q Q TC 02.0620002.06200)(2++=++= =dQ dAC （Q Q 02.06200++）'=0.02—2200Q所以，6＋0.04Q=Q Q02.06200++ 得到：舍去）(100,10021-==Q Q此时=dQ dAC 0.02—2100200=0 故产量达100时，AC 最低2、建立最大利润模型如何求最大利润？当商品产量无限增大时，价格极低，得不到最大利润；价格无限增大时，销售量极少，也得不到最大利润。

如图2看出，只有在边际收益等于边际成本时，即两条切线平行，收入和成本两个函数的导数相等时，这两条曲线间的距离最大，才达到最大利润，才能找到合理的生产模型。

此外为了是利润极大值存在，利润函数的二阶导数还必须小于零。

建立的模型程序为：第一步：建立子模型MR=dQdTR （4） MC=dQdTC （5） 其中：Q —产量；TC —总成本；TR —总收益；MC —边际成本；MR-边际收益第二步：建立最优化利润模型。

⎪⎩⎪⎨⎧<-=0)(22dQ MC MR d MC MR （6）满足上述（６）的Ｑ的生产规模，可以使利润达到最大。

举例：TR=50Q-2Q 2TC=250153323++-Q Q Q MR=50-4QMC=Q 2-6Q+15所以，50-4Q= Q 2-6Q+1503522=--Q Q0)7)(5(=-+Q Q所以Ｑ1＝－５，Ｑ2＝７因为产量不可能是负数，所以最大利润的产量应该是７件。

三、需求价格弹性及其经济意义弹性作为一个数学概念是指相对变化率, 即相互依存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。

用比例来说, 是自变量变化 1% 所引起因变量变化的百分数。

弹性是一种不依赖于任何单位的计量法, 即是无量纲的。

需求价格弹性是是经济数学弹性中应用最广泛的概念之一。

它是指物品的需求量对价格变化的反应程度即需求弹性 = 需求变化百分比/ 价格变化百分比。

设需求函数为 Q = Q(P) ,这里P 为价格,Q 为需求量。

如果我们以极限为工具来研究需求弹性，则此变化率可定义为 Ep= P P Q Q p //0lim ∆∆→∆=dPdQ Q P ，需求弹性有其实际的经济含义：表示当某种商品的价格下降 (或上升) 1 %时,其需求量将增加 (或减少) | Ep| %。

需求价格弹性可分五类:1) 缺乏弹性。

当- 1 < Ep < 0时, 价格变动1% , 需求量变化小于 1%。

表示价格的变化对需求量的影响较小,在适当涨价后,不会使需求量有太大的下降,从而可以增加收入。

基本生活必需品是缺乏弹性的。

如粮食、食盐、针线等。

2) 富有弹性。

当Ep < - 1 时 , 价格变动 1% , 需求量变化大于 1%,也就是价格的变化将会引起需求的较大变化，这时需求量对价格的依赖是很大的，换句话说，适当涨价会使需求较大幅度上升从而增加收入。

奢侈品、高价商品往往属于富有弹性的。

3）单位弹性。

当Ep = - 1时,这时需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等,即商品的涨价或降价对商品的销售基本无大的影响。

4）完全弹性。

当p E = + ∞时, 表示价格的任何变动都引起需求量无限的变动。

如国家对棉、油、木材以及某些战略物资的定价收购，需求量可为无限制的5) 完全无弹性。

当p E = 0 时, 表示不管价格如何变动, 需求量固定不变。

四、需求价格弹性的应用模型需求价格弹性应用很多，这里主要谈谈价格变动对销售收入的影响模型。

在商品经济中经营者关心的是提价或降价对总收入的影响，利用需求弹性的概念可以使经营者认识到：涨价未必增收，降价未必减收的理论依据。

设某商品的需求函数为Q=f(P),商品的价格有一改变量P ∆，这时需求量相应的改变量为Q ∆，销售收入R=QP 的改变量记为R ∆，由需求弹性的求解公式：p E =dPdQ Q P 可得 PdQ=p E QdP因此，由价格P 的微小变化（P ∆很小时）而引起的销售收入R 的改变量 QdP E QdP E QdP PdQ QdP QP d QP R p p ]1[)()(+=+=+=≈∆=∆由p E <0,知P p E E -=，于是有P Q E QdP E R p p ∆-≈-≈∆]1[]1[由此可知，当P E >0（富有弹性）时，若0<∆P 则0>∆R ；若0>∆P 则0<∆F 。

这表明适当调低商品的价格薄利多销，能使总收入增加；若提高商品的价格，企业的总收入反而减少。

当1<P E （缺少弹性）时，若0<∆P 则0<∆F ；若0>∆P 则0>∆R 。

这表明降低价格使总收入减少，提价可使总收入增加。

当1=P E （单位弹性）时，我们可以证明总收入的改变量R ∆是较价格改变量P ∆高价的无穷小量，提价或降价对总收入没有明显的影响。

下图3表示不同弹性的需求曲线。

图3从以上需求曲线的不同情况，可显示对价格变动的反映程度之差异。

三个图中矩形A0DC 的面积分别大于、等于、小于矩形BOFK 的面积，各矩形面积分别表示收益R=PQ 的大小。

美国劳埃德•雷诺兹在《微观经济学分析与政策》一书中举过这样一个例子：“假定你是小五金零件的生产者，你的产品的需求曲线是非弹性的（即P E <1），这意味着什么呢？如果你将价格提高，比如说5%，你能够出售的零件数量下降少于5%。

因此，你得到的钱数是价格乘以数量，将大于过去。

相反如果降价5%，零件售量低于5%的增加，你的销售收入就会下降。

”例：设小五金零件的需求价格E=0.6<1 ，原价格为0P ，原销售量为0Q ，假定将价格提高5%，即%,5/0=∆P P 所以提价后的收入变化为：002.0%5]6.01[]1[00000>=⨯-=∆-≈∆Q P P Q P Q E R p此例验证了上述结论的正确性。

上述结论均可为企业改善经营管理提供信息，对企业经济决策起一定的作用。

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