第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍一、 函数变化率——边际函数1．()x f 在()x x x ∆+00, 两点间的变化率=x y∆∆2．()x f 在0x点的变化率()00lim x f x y x '=∆∆=→∆3. ()x f '——边际函数4()()0111000x f dx x f dy y dx xx dx x x x x x '='=≈∆=====∆=注：x ∆很小时或x ∆ 与0x 相对比很小时此式才成立。

例 1 函数2x y =求在100=x 处的边际函数值，及它表示的具体含义 解：()20102='⇒='y x y 例2 设某产品成本函数()Q C C =（C 为总成本，Q 为产量）求边际成本。

注：①()Q C C '=' 边际成本 ②()0Q C ' 当产量为0Q 时的边际成本③经济学家的解释：当产量达到0Q时，生产0Q 前最后一个单位产品所增添的成本。

二、 成本1．总成本：指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。

2．①总成本()()Q C C Q C C 21+==②平均成本()()()Q Q C Q C Q Q C Q C C 21+===③边际成本()Q C C '=' ④边际成本()()10C dt t C Q C Q +'=⎰3．几个关系例 1 设某商品的成本函数为()41002Q Q C C +==求①当10=Q 时的总成本，平均成本， 边际成本。

②当Q 为多少时，平均成本最小？三、 收益1．总收益：生产出售一定数量的产品所得到的全部收入。

2．①需求函数()QPP=②总收益()QRR=③平均收益()QRR=④边际收益()QRR'='3．几个关系需求函数①()==QRR()QPQ⋅②()QRR=()QP=③()QRR'='()()QPQPQ+'=④()()Q R dQ d Q R =' ⑤()()dt t R Q R Q ⎰'=0例 1 设某产品的价格与销售量的关系为510QP -=求当30=Q 时的总收益，平均收益，边际收益。

问题：如何理解()230-='R ？ 最大值()12525=R()8.12129=R ()12030=R()3028.11300R R x x '=-≈-=∆=∆=4．最大利润原则设总利润为L ，则()()()Q C Q R Q L L -== ① 最大利润的必要条件： =边际成本 ②最大利润的充分条件： ()()Q C Q R ''<''边际收益的变化率<边际成本的变化率例2 设某产品的需求函数为 510QP -=，成本函数为Q C 250+=求产量为多少时，总利润最大？并验证是否符合最大利润原则。

注：一般步骤（1） 总利润最大问题①列出利润函数()()()Q C Q R Q L -=②求出()0='Q L 的点0Q③验证0Q 为极大值点求出()Q L ''，()00<''Q L（2） 验证是否符合最大利润原则问题 ①求出()()Q R Q R ''',，()()Q C Q C ''',②验证()()00Q C Q R '=' ③验证()()00Q C Q R ''<''例3 设某工厂生产某种产品，固定成本20，000元，每生产一台产品，成本增加1000元，已知R 总收益是年产量Q 的函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-==400000,804000214002Q Q Q Q Q R R 求每年生产多少产品时，总利润最大？此时，总利润是多少？四、 函数的相对变化率——函数的弹性1．（两点间的弹性）()x f 在()x x x ∆+00,两点间的相对平均变化率()00,//00x x y y x x x ∆∆=∆+η2．（0x 点的弹性）()x f 在0x 点的相对变化率()()000000//lim0x f x x f x x y y x x x '=∆∆=→∆=η记作：(),,00x f Ex EEx Ey x x =即()()0000x f x x f Ex Eyx x '==注：弹性应该是正值，故要由()x f 的增减性决定弹性中的+、-号。

① ()x f()()0000x f x x f ExEyx x '==②()x f()()0000x f x x f ExEyx x '-==3. 弹性函数()()x f x x f ExEy '=弹性Ex Ey反映随x 的变化，()x f 变化幅度的大小，即()x f 对x 变化反映的强烈程度或灵敏度。

4．经济解释： ①()()0111000x f dxx f dyydx x x dx x x x x x '='=≈∆=====∆=自变量在点0x 增加一个单位时，函数改变了()0x f '个单位。

②()()%000%10x f x x f y y x x '≈∆=∆自变量在点0x 增加1%时，函数相对0y 改变了()()%000x f x x f '例1 求x y 23+=在3=x 处的弹性。

例 2 求xey 3100=的弹性函数ExEy及 2=x ExEy例 3 求为常数）a x y a(=的弹性函数。

五、 需求函数与供给函数 1．需求函数（1）需求：指在一定价格条件下，消费者愿意购买并有支付能力购买的商品量。

设P ——商品价格，Q ——需求量 （2）需求函数： ()P f Q = （3）常用一些简单函数拟合需求函数（减函数），建立经验曲线： 线性函数0,>-=b a aPb Q反比函数,0≠>=P k Pk Q 幂函数,0,≠>=P k a Pk Q a指数函数 0,>=-b a aeQ bP（4）边际需求：()P f Q '=' 例 若已知需求函数为4122PQ -=，求边际函数2．供给函数（1）供给：指在一定价格条件下，生产者愿意出售并有可供出售的商品量。

设P ——商品价格，Q ——供给量 （2）供给函数： ()P Q ϕ=（3）常用一些简单函数拟合供给函数，建立经验曲线：3．均衡价格均衡价格：是市场上需求量与供给量相等时的价格。

此时的需求量与供给量为，称为均衡商品量注：市场上的商品价格将围绕均衡价格摆动六、需求弹性与供给弹性（需求与供给对价格的弹性）定义 6 某商品需求函数()PfQ=在0PP=处可导。

则①该商品在()PPP∆+,两点间的需求弹性记作()00,//0P P Q Q P P P ∆∆-=∆+η②该商品在0P P =点的需求弹性记作 ()()()0000000//limP f P P f P P Q Q P P P P '-=∆∆==→∆=ηη注：弹性应该是正值，故要由()P f 的增减性决定弹性中的+、-号。

而需求函数()P f 为减函数，故取-号例1 已知某商品需求函数为PQ 1200=，求①从30=P 到50,32,25,20=P 各点间的需求弹性。

②30=P 时的需求弹性。

③解释其经济意义例2 已知某商品需求函数为PeQ 5-=，求①需求弹性函数。

②6,5,3===P P P 时的需求弹性。

2．定义7 某商品供给函数()P Q ϕ=在0P P =处可导。

则①该商品在()P P P ∆+00,两点间的供给弹性记作()00,//0P P Q Q P P P ∆∆=∆+ε②该商品在0P P =点的供给弹性记作()()()0000000//limP P P P P Q Q P P P P ϕϕεε'=∆∆==→∆=注：弹性应该是正值，故要由()P ϕ的增减性决定弹性中的+、-号。

而供给函数()P ϕ为增函数，故取+号七、 用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化 总收益=价格*销售量()P f P Q P R ⋅=⋅=()Q R R '='()()P f P f P +'=()()()()()η-=⋅'+=1]1[P f P f PP f P f①1<η 需求变动幅度<价格变动幅度②1>η 需求变动幅度>价格变动幅度③1=η 需求变动幅度=价格变动幅度（此时，0='R ，总收益取得最大值）1>即总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化。

例3 设某商品需求函数为()212P P f Q -==，①求需求弹性函数②求6=P 时的需求弹性。

③在6=P 时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化白分之几？④P 为何值时，总收益最大？最大的总收益是多少？注：由于总收益函数的增减性是不确定的，故总收益的弹性公式中+，-号是不确定的①由需求弹性η的值与1比较，只能得到总收益函数的大概情况，即只能知道是否总收益最大，或此时总收益是增加还是减少。

21 ②要想得到总收益具体变化的值，必须求总收益的弹性。

现由第①步的增减性，确定出总收益公式的+、-号，再计算 ()()P R PP R EP ER⋅'±=作业：课堂练习3——7： 1，2 习题3——7： 4, 7, 10, 13, 15。