《微积分》(第三版) 教学课件
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例 3 已知某商品的成本函数为C C(Q)100 Q2 4
求 当Q10时的总成本及平均成本
解 由C 100 Q2 有 4
C
100 Q
Q 4
C Q 2
当Q10时
总成本为 C(10)125
平均成本为C(10)125
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绝对改变量
1% 0.1%
相对改变量
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定义 (绝对改变量与相对改变量)
变量 t从初值t0 变到终值 t1 ，则称
Δt = t1- t0为变量 t 在 t0处的绝对改变量；
t t0
称为t在t0处的相对改变量.
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例1 （1）设某电子产品的月销售量是价格的线性函数．当 价格为580元时，每月售出800件；当价格为680元时，每月 售出600件. 试求需求函数 ； （2）该电子产品供应商每月向商场供给量也是价格的线性 函数．当价格为580元时，每月提供800件；当价格为680元 时，每月多提供100件，试求供给函数.
解
Ey Ex
y
x y
2 x 32x
2x 32x
Ey Ex
|x3
23 3 23
2 3
例190. 求函数 y100e3x 的弹性函数EEyx 及EEyx |x2
解
Ey Ex
y
x y
300
e3x100xe3x
33xx
Ey Ex
|x2
326
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定义46(需求弹性)
2. 成本函数、收益函数、利润函数 (1) 成本函数 总成本
总成本是生产一定数量的产品所需的费用总额
总成本C(Q)由固定成本C0和可变成本C1(Q)两部分组成： C(Q) C0 C1(Q).
平均成本 平均成本是生产一定量产品 平均每单位产品的成本
Q 个单位产品时的平均成本为： C C(Q) Q
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
ff
((xxx))
f
(x)
说明
函数
f(x)在点
x
的弹性
E Ex
f
(x)
反映随
x
的变化
f(x)变化
设某商品的需求函数Q
f
( p)在p
p0处可导，则称
Q p
/ /
Q0 p0
为该商品在p p0与p p0 p两点间的需求弹性(弧弹性)，
R(Q)C (Q) 取得最大利润的充分条件为 边际收益的变化率小于边
际成本的变化率 即R(Q)C (Q) 提示
设总利润为L 则 LL(Q)R(Q)C(Q) L(Q)R(Q)C (Q) L(Q)R(Q)C (Q)
L(Q)取得最大值的必要条件为 L(Q)0 即R(Q)C (Q)
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（1）边际需求 Q( p)
表示价格改变一个单位，需求量改变Q( p)个单位.
（2）边际供给 Q( p)
表示价格改变一个单位，供给量改变Q( p)个单位.
（3）边际成本 C(q)
表示生产第(q +1)个产品的成本.
（4）边际收益 R(q)
表示销售第(q +1)个产品的收入.
（5）边际利润 L(q)
表示销售第(q +1)个产品所增加的利润.
解得 c 220,b 1. 故供给函数为 Q 220 p.
《微积分》(第三版) 教学课件需求函数为QbaP(a、b0) 供给函数为 QcPd(c、d0) 求均衡价格P0
解 令baP0cP0d
得
P0
bd ac
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(弧弹性)
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定义45(函数的弹性)
设函数yf(x)在点x0处可导 函数的相对改变量与自变量
的相对改变量之比y/ y0 x/ x0
称为函数 f(x)从 xx0 到 xx0x 两点
间的平均相对变化率(弧弹性)
若极限
lim
x0
y x
/ /
y0 x0
存在，则称该极限为f
§4.8 变化率及相对变化率在经济中的应用
一、常用经济函数 二、函数变化率——边际 三、函数的相对变化率——弹性
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一、常用经济函数
1.需求函数与供给函数 (1) 需求函数 含义：消费者对某种商品的需求量. 需求量主要受到商品价格的影响，可视为价格的函数. 设价格为p, 则需求函数记为Q f ( p). 通常降低商品的价格会使需求量增加，提高价格会 使需求量减少．因此需求函数是单调递减函数.
q
q
边际成本函数为C(q) 0.003q2 0.6q 40；
__
（2）当q=50时， C(50) 47.5，C(50) 17.5.
边际成本的经济意义：第51个产品的成本为17.5元.
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最大利润原则 设R(Q)为收益函数 C (Q)为成本函数 则： 取得最大利润的必要条件为 边际收益等于边际成本 即
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
ff
((xxx))
f
(x)
说明
函数
f(x)在点
x
的弹性
E Ex
f
(x)
反映随
x
的变化
f(x)变化
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(2) 供给函数
含义：生产商向市场提供的商品的数量. 供给量也主要受到商品价格的影响，亦可视为价格
的函数.记为Q ( p).
通常降低商品的价格会使供给量增加，提高价格会 使供给量减少．因此供给函数是单调递增函数.
(3) 均衡价格 市场上需求量与供给量相等时的价格 此时的需求量与供给量称为均衡商品量 一般来说 市场上的商品价格 是围绕均衡价格摆动的
幅度的大小 也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度
E Ex
f
(x0)
表示在点
xx0
处
当 x 产生 1%的改变时 f(x)近
似地改变
E Ex
f
(x0)%
在应用问题中解释弹性的具体意义时 我们也略去 “近
似” 二字
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x
x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
引例 已知yx2 则当x由10改变到12时 y由100改变到144 此时自变量与因变量的绝对改变量分别为:
x2 y44 相对改变量分别为:
x 20% y 44%
x
y
此时，
y x
/ /
y x
44% 20%
2.2
这表示在(10 12)内 从x10开始 x改变1%时 y平均改变22% 我们称它为从x10到x12 函数yx2的平均相对变化率
L(Q)取得最大值的充分条件为 L(Q)0 即R(Q)C (Q)
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例8 已知某产品的需求函数为P1002Q 成本函数为 C502Q 求产量为多少时总利润L最大？并验证是否符合最 大利润原则
解 已知P(Q)1002Q C(Q)502Q 则有
R(Q)1002Q2
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生产了50个产品后 应该继续生产吗？
例7. 已知总成本函数为C(q) 0.001q3 0.3q2 40q 100（0 元）， 求：（1）平均成本函数和边际成本函数；
（2）求生产50个产品时的平均成本和边际成本， 并解释后者的经济意义.
解：（1）平均成本函数为C__ C(q) 0.001q2 0.3q 40 1000 ,
解：(1)设需求量为 Q，价格为 p，由题意可设：Q a bp.
800 600
a a
580b 680b
,
解得 a 1960,b 2. 故需求函数为 Q 1960 2 p.
(2)设供给量为 Q，价格为 p，由题意可设：Q c dp.
800 c 580d 900 c 680d ,
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(2) 收益函数
总收益函数是指生产者出售商品所得到的全部收入, 一般用R表示. 设销售量为q, 商品价格为p，则
R pq.
例4. 某商品的市场需求规律为q p 6，求销售100个商品 时的总收入.
解 总收益函数为： R(q) pq (q 6)q q2 6q
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x
x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
ff
((xxx))
f