1元
绝对改变量 相对改变量
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1% 0.1%
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定义 (绝对改变量与相对改变量) 变量 t从初值t0 变到终值 t1 ，则称
Δt = t1- t0为变量 t 在 t0处的绝对改变量；
t 称为t 在t0处的相对改变量. t0
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例1 （1）设某电子产品的月销售量是价格的线性函数．当 价格为580元时，每月售出800件；当价格为680元时，每月 售出600件. 试求需求函数 ； （2）该电子产品供应商每月向商场供给量也是价格的线性 函数．当价格为580元时，每月提供800件；当价格为680元 时，每月多提供100件，试求供给函数. 解：(1)设需求量为 Q，价格为 p，由题意可设：Q a bp.
销售100个商品时的总收益为：
R(100) 1002 6 100 10600
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(3) 利润函数
总利润等于总收益与总成本之差，一般用L(q)表示.
L( q ) R ( q ) C ( q )
例5. 已知某产品的成本函数为C (q) 2q 2 4q 21 ，该产品的 单位价格为13，求该产品的总利润函数. 解 总利润为：L(q) R(q) C (q)
800 a 580b , 600 a 680b 解得 a 1960, b 2. 故需求函数为 Q 1960 2 p. (2)设供给量为 Q，价格为 p，由题意可设：Q c dp. 800 c 580d , 900 c 680d
y / y0 的相对改变量之比 称为函数 f(x)从 xx0 到 xx0x 两点 x / x0
间的平均相对变化率(弧弹性) y / y0 若极限 lim 存在，则称该极限为f ( x)在点x x0处的 x 0 x / x 0
相对变化率(点弹性).
即
E 记为 Ey f (x0) 或 Ex Ex x x0 y / y0 x0 Ey y x0 lim lim f (x0) x x Ex 0 x0 x / x0 x0 x y0 f (x0)
当x在点x0处改变一个单位时，函数f ( x)改变f '( x0 )个单位.
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边际函数 设函数yf(x)是可导的 则导函数f (x)称为边际函数 边际的经济意义
当x在点x0处改变一个单位时，函数f ( x)改变f '( x0 )个单位.
例6 函数yx2 y2x 在点x10处的边际函数值y(10)20 它表示当x10时 x改变一个单位 y(近似)改变20个单位
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★ 边际分析 (利用边际函数来进行分析)
（1）边际需求 Q( p)
表示价格改变一个单位，需求量改变Q( p)个单位.
（2）边际供给 Q( p)
表示价格改变一个单位，供给量改变Q( p)个单位.
（3）边际成本 C(q) 表示生产第(q +1)个产品的成本. （4）边际收益 R( q ) 表示销售第(q +1)个产品的收入. （5）边际利润 L( q ) 表示销售第(q +1)个产品所增加的利润.
C (Q) Q 个单位产品时的平均成本为： C Q
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Q2 例 3 已知某商品的成本函数为C C(Q) 100 4 求 当Q10时的总成本及平均成本
2 Q 解 由C 100 有 4 Q Q 100 C C 2 Q 4 当Q10时 总成本为 C(10)125 平均成本为C(10)125
__
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最大利润原则 设R(Q)为收益函数 C (Q)为成本函数 则： 取得最大利润的必要条件为 边际收益等于边际成本 即 R(Q)C (Q) 取得最大利润的充分条件为 边际收益的变化率小于边 际成本的变化率 即R(Q)C (Q)
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生产了50个产品后 应该继续生产吗？
例7. 已知总成本函数为C (q ) 0.001q 3 0.3q 2 40q 1000 （元）， 求：（1）平均成本函数和边际成本函数； （2）求生产50个产品时的平均成本和边际成本， 并解释后者的经济意义.
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解得 c 220, b 1. 故供给函数为 Q 220 p.
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例2 设某商品的需求函数为QbaP(a、b0) 供给函数为 QcPd(c、d0) 求均衡价格P0
解 令baP0cP0d
得
bd P 0 a c
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x0 E Ey x0 E Ey xE Ey E f (x E Ey x x Ey E 0 ) f f ( ( x x ) ) f ( x ) f ( x ) f ( f x ( ) x ) f ( x ) f (x )x ) f ( x0 ) 0 f ( x ) f ( x) f (x) 0 x x0 Ex Ex x x0 0 ExEx x00 f ( xEx ) f ( x0 Ex Ex Ex Ex f ( x ) f ( x0 ) Ex Ex 0 0 f
C (q) 1000 2 解： （1）平均成本函数为C 0.001q 0.3q 40 ,
__
q
q
边际成本函数为C (q) 0.003q 2 0.6q 40； （2）当q =50时， C (50) 47.5，C (50) 17.5.
边际成本的经济意义：第51个产品的成本为17.5元.
13q (2q 2 4q 21) 2q 2 17q 21
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二、函数变化率——边际
边际函数 设函数yf(x)是可导的 则导函数f (x)称为边际函数 分析 在点xx0处 当x1时 有 y dyf (x0)xf (x0) 这说明 当x产生一个单位的改变时 y近似改变f (x0)个单位 在应用问题中解释边际的具体意义时我们略去“近似”二字 边际的经济意义
这表示在(10 12)内 从x10开始 x改变1%时 y平均改变22% 我们称它为从x10到x12 函数yx2的平均相对变化率 (弧弹性)
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定义45(函数的弹性) 设函数yf(x)在点x0处可导 函数的相对改变量与自变量
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引例 已知yx2 则当x由10改变到12时 y由100改变到144 此时自变量与因变量的绝对改变量分别为: x2 y44 相对改变量分别为:
x 20% y 44% y x 此时， y / y 44% 2.2 x / x 20%
说明
函数 f(x)在点 x 的弹性 E f (x) 反映随 x 的变化 f(x)变化 Ex 幅度的大小 也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度
E f (x ) 表示在点 xx 处 当 x 产生 1%的改变时 f(x)近 0 0 Ex 似地改变 E f (x0)% Ex 在应用问题中解释弹性的具体意义时 我们也略去 “近 似” 二字
提示
设总利润为L 则 LL(Q)R(Q)C(Q) L(Q)R(Q)C (Q) L(Q)R(Q)C (Q) L(Q)取得最大值的充分条件为 L(Q)0 即R(Q)C (Q)
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例 8 已知某产品的需求函数为 P1002Q 成本函数为 C502Q 求产量为多少时总利润L最大？并验证是否符合最 大利润原则 解 已知P(Q)1002Q C(Q)502Q 则有 R(Q)1002Q2 L(Q)R(Q)C(Q) 8Q02Q250 L(Q)804Q 令L(Q)0 得 Q20 L(20)0 所以当Q20时总利润L最大 此时 R(20)2 C (20)2 有R(20)C (20) R(20)04 C (20)0 有R(20)C (20) 所以符合最大利润原则
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2. 成本函数、收益函数、利润函数
(1) 成本函数 总成本 总成本是生产一定数量的产品所需的费用总额
总成本C (Q)由固定成本C0和可变成本C1 (Q)两部分组成： C (Q) C0 C1 (Q).
平均成本 平均成本是生产一定量产品 平均每单位产品的成本
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三、函数的相对变化率——弹性
问题思考 商品A的单位价格为10元 涨价1元 商品B的单位价格为1000元 也涨价1元 两种商品价格的绝对改变量都是 1元 但各与原价相比 两种商品涨价的百分比大不相同 商品A涨了10% 而商品B 涨了01% 哪种商品涨价后销售量会有较大波动 ? 这种波动由什么 因素决定?
§4.8 变化率及相对变化率在经济中的应用
一、常用经济函数 二、函数变化率——边际
三、函数的相对变化率——弹性
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一、常用经济函数
1.需求函数与供给函数
(1) 需求函数