第四课时 整式的加减（2）一、教学目标（一）学习目标1.熟练掌握整式的加减运算法则，并能准确化简求值.2.体会整体代入法的作用.3.准确的运用去括号法则、合并同类项法则进行整式的化简求值.（二）学习重点熟练掌握整式的加减运算法则，并能化简求值.（三）学习难点准确的运用整体代入的方法化简求值.体会整体的代入方法的作用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务整式的化简求值一般先 化简 ，再 求值 .2.预习自测(1) 化简：22221()13()8()7()2a b a b a b a b -+---+-． 【知识点】合并同类项.【数学思想】整体思想.【解题过程】解：原式=21(1387)()2a b +-+-=2252a b -（）.【思路点拨】根据同类项，把同类项结合到一起，根据合并同类项，可得答案． 【答案】2252a b -（）.（2）化简：2222226237546x y xy x y x yx y x x y --+---．【知识点】合并同类项.【解题过程】解：原式=22737x y xy x ---．【思路点拨】根据合并同类项的法则求解即可.【答案】22737x y xy x ---.（3）化简求值：2222(744)(22)m mn n m mn n ----+；其中12m =；12n =-【知识点】去括号、合并同类项.【解题过程】解：原式=222274422m mn n m mn n ---+-=22536m mn n -- 当12m =，12n =-时，22536m mn n --=2211115()3()6()2222⨯-⨯⨯--⨯-=12 【思路点拨】先化简再代入求值，可以简化计算. 【答案】12. （4）化简求值：22111(26)(47)322a a a a -----，其中2a =. 【知识点】化简求值 【解题过程】解：22111(26)(47)322a a a a -----=22117262342a a a a ---++=215122a -． 当2a =时，原式=2152122⨯-=136-. 【思路点拨】先化简再代入求值，可以简化计算. 【答案】136-. (二)课堂设计1.知识回顾(1)去括号法则是 .注意：①去括号，看符号，是“+”不变号，是“—”全变号 .②括号前的因数分配到括号内不要漏乘项.③去括号前后项数一致.(2)合并同类项的法则：系数相加，字母和字母的指数不变.(3) 整式加减运算实际是 .2.问题探究探究一●活动① （整合旧知，探究整式的化简求值）化简求值：22463(42)1x y xy xy x y ⎡⎤----+⎣⎦，其中2x =，12y =-.学生独立自主的解决，老师巡视，发现学生在解题过程中的不同方法.抽两个不同方法的学生板书（一个是直接代入求值，另一个先化简再求值）师问：比较两解法，哪种方法更简单？生答：先化简再求值更简单一些.师问：你们能总结整式的化简求值的方法步骤吗？生答：先化简，再求值【设计意图】使学生进一步理解掌握整式的加减法则，熟练进行整式的化简求值，掌握化简求值的格式要求.探究二 ★▲●活动① （大胆操作，探究整体思想代入求值）已知代数式2231x y ++的值是2，求2697x y +-的值 .师问：题目没有直接告知x 和y 的值，如何求值呢？引导学生观察与思考.【设计意图】让学生初步认识整体思想的作用.●活动② （集思广益，证明整体代入的方法）师问：注意观察条件和结论中含字母的部分的系数有何特征？生答：成倍数关系师问：这类型的题目用什么方法求值呢？法一、由条件向结果转化∵22312x y ++=，则23(231)32x y ++=⨯，则26936x y ++=，∴2693x y +=. ∴把269x y +作为整体带入2697x y +-得值是-4法二、由结果向条件转化 2697x y +-=23(23)7x y +-，再由22312x y ++=得2231x y +=，∴原式=-4【设计意图】让学生认识到整体带入的数学思想使运算化简更简便.探究三 运用整式的加减化简求值★▲●活动①例1.求2211312()()2323x x y x y --+-+的值，其中2x =-，23y =． 【知识点】整式的化简求值．【解题过程】解：2211312()()2323x x y x y --+-+ =22123122323x x y x y -+-+ =23x y -+当2x =-，23y =时，原式=22(3)(2)()3-⨯-+=469+=469. 【思路点拨】先化简，再求值. 【答案】469. 练习：先化简，再求值：2222112()5()3a b ab ab a b -+--214(3)2a b +，其中1,55a b ==-． 【知识点】化简求值. 【解题过程】解：2222112()5()3a b ab ab a b -+--214(3)2a b +=2222212455212a b ab ab a b a b -+---=22512a b ab +- 当15a =，5b =-时，原式=22115()(5)()(5)1255⨯⨯-+⨯--=-8 【思路点拨】先化简再求值.【答案】-8.【设计意图】通过例习题的学习让学生更进一步熟悉整式的化简求值，把握去括号，合并同类项时注意的问题.●活动②例2：化简并求值：()3105223xy y x xy y x ---+-+-（）［］其中2x =-，3y =. 【知识点】化简求值【解题过程】解：()3105223xy y x xy y x ---+-+-（）［］=310(5223)xy y x xy y x ++--+=3105223xy y x xy y x ++--+=88xy y x ++当2x =-，3y =时，原式=23838(2)-⨯+⨯+⨯-=2.【思路点拨】先化简再求值.【答案】2.变式1.将条件变换成选择一个你喜欢的x 和y 的值，求多项式的值？变式2.若将条件换成2320x y ++-=（）︱︱，又如何求多项式的值？ 变式3.若将条件换成若2xy =-， 3x y +=，又如何求多项式的值？变式4.若条件2xy =-， 3x y +=不变，化简后是88x xy y -+-又如何求值？练习：若2x =时，312012px qx ++=， 当2x =-时，31px qx ++的值等于多少？【知识点】化简求值.【数学思想】整体思想.【解题过程】解：因为2x =时，312012px qx ++=，所以822011p q +=，当2x =-时，31px qx ++=821p q --+=(82)1p q -++=-2010.【思路点拨】当2x =时，求出822011p q +=，再根据2x =-，得到821p q --+， 通过变形整体带入求值即可.【答案】-2010.【设计意图】引导学生自己独立的观察和思考去发现条件和结论的特点，然后组织学生进行讨论，交流，从而引出整体代入的方法.极大的激发学生学习的积极性和主动性，满足学生的表现欲和探究欲，使学生学得轻松愉快，充分体现课堂教学的开放性.3.课堂总结知识梳理（1）整式的加减运算法则. 需要注意什么问题？（2）化简求值的一般思路.（3）整体代入的思想方法.重难点归纳（1）整式的加减运算法则.（2）化简求值的一般思路.（3）整体代入的思想方法.（三）课后作业基础型 自主突破1.已知100m n =﹣，1x y +=﹣，则代数式n x m y +-（）-（）的值是（ ）． A.99 B.101 C.﹣99 D.﹣101【知识点】整式的化简求值.【数学思想】整体思想.【解题过程】解：∵100m n =﹣，1x y +=﹣，∴原式=()()n x m y m n x y +-+=--++1001101=--=-，故选D ．【思路点拨】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值.【答案】D ．2.已知：23x y -=﹣，则2523240x y x y --+-（）（）的值是（ ） A ．5 B ．94 C ．45 D ．﹣4 【知识点】整式的化简求值.【数学思想】整体代入思想.【解题过程】解：当23x y -=-时，原式=45+9+40=94，故选B.【思路点拨】把2x y -的值代入原式计算即可得到结果．【答案】B.3.若多项式2237x x ++的值为10，则多项式2697x x +-的值为 ．【知识点】整式的化简求值.【数学思想】整体思想. 【解题过程】解：由题意得：2233x x +=，2269732372x x x x +-=+=（）-． 【思路点拨】由题意得2233x x +=，将2697x x +-变形为23237x x +（）-可得出其值． 【答案】2. 4.若2|120|a b ++-=（），化简2222a x y xyb x y xy +-（）-（）的结果为 ．【知识点】整式的化简求值 【解题过程】解：∵2|120|a b ++-=（），∴1a =-，2b =， 2222a x y xy b x y xy +-（）-（）=222222x y xy x y xy --+-=223x y xy -+．故答案为：223x y xy -+．【思路点拨】首先利用非负数的性质得出a ，b 的值，再利用整式加减运算法则化简求出答案．【答案】223x y xy -+5.先化简，再求值：2211312()()2323m m n m n ----，其中13m =，1n =-． 【知识点】整式的化简求值.【解题过程】解：原式=22123122323m m n m n --++=23m n -+， 当13m =，1n =-时，原式=1313-⨯+=﹣1+1=0． 【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把m 与n 的值代入计算即可求出值． 【答案】0．6.求代数式222213162422x y xy x y xy --++-+（）（）-的值，其中1x =，1y =-．【知识点】整式的化简求值.【解题过程】解：原式=2222333322x y xy x y xy -+-+-+-=223xy -，当1x =，1y =-时，原式231=-=-．【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【答案】-1．能力型 师生共研 1.若2|230|a b -++=（），则式子5321a b b a +-（）-（）-的值为（ ）.A.﹣11B.﹣1C.11D.1【知识点】整式的化简求值.【解题过程】解：原式= 5321a b b a +-+-=321a b +-， ∵2|230|a b -++=（），∴2a =，3b =-，则原式6611=--=-，故选B 【思路点拨】利用非负数的性质求出a 与b 的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值．【答案】B.2.定义一种新运算：()3()a b a b a b b a b -≥⎧=⎨<⎩※，则当3x =时，24x x ※﹣※的结果为 ． 【知识点】整式的化简求值【数学思想】分类讨论思想 【解题过程】解：当3x =时，原式=24x x ※﹣※943918=--=-=（），故答案为：8. 【思路点拨】利用已知的新定义进行化简时，应注意相应条件，再计算即可得到结果．【答案】8.探究型 多维突破1.“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知2m n +=-，4mn =-，则2332mn m n mn --（）-（）的值为 ． 【知识点】整式的化简求值.【数学思想】整体思想.【解题过程】解：∵2m n +=-，4mn =-，∴原式=2663mn m n mn --+ =56mn m n -+（）20128=-+=-，故答案为：﹣8．【思路点拨】原式去括号合并后，将已知等式代入计算即可求出值．【答案】-8.2.已知221999199919981998a -=+；2220002000219991999b -=+；2220012001320002000c -=-，则2(3)3a b c a b c a b c +-+-+--++（）（）= .【知识点】整式的化简求值【解题过程】 解：221999199919981998a -=+=1999(19991)1998(19981)⨯-⨯+1=；2220002000219991999b -=+=2000(20001)1999(19991)⨯-⨯+1=； 2220012001320002000c -=-=2001(20011)2000(20001)⨯-⨯+1=，即1a =，12b =，13c =， 则原式=2223333a b c a b c a b c +--+---- =226a b c -+- 2123=-+-=-，故答案为：-3.【思路点拨】利用乘法分配律化简求出a ，b ，c 值是关键，然后去括号合并后代入计算即可求出值．【答案】-3.自助餐1.化简3222355657a a b a ab a ab b --+++-（）（）-（），当1a =-，2b =-时，求值得（ ）.A.4B.48C.0D.2【知识点】整式的化简求值【解题过程】解：原式= 3222355657a a b a ab a ab b --++-+-= 322a a ab b +--， 当1a =-，2b =-时，原式11242=-+-+=，故选D ．【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【答案】D. 2.若2||210x y xy +++-=（），则3132x xy xy y -+--（）-（）的值为（ ）．A.3B.﹣3C.﹣5D.11 【知识点】整式的化简求值.【数学思想】整体代入思想.【解题过程】解：由2||210x y xy +++-=（），得2x y +=-，1xy = 3132x xy xy y -+--（）-（）=3132x xy xy y -+-++=3323x y xy +-+，当2x y +=-；1xy =时，原式232135=-⨯-⨯+=﹣，故选：C ．【思路点拨】根据非负数的和为零，可得xy 、x y +的值，根据整体代入的思想方法求值，可得答案．【答案】C.3.按如图所示的程序计算，若开始输入2a =，12a =-，1c =-，则最后输出的结果是 ．A.0B.1C.﹣1D.﹣2【知识点】整式的化简求值．【解题过程】解：原式= 2232ab ab c ab c ab c ab -++---+ = ab ，当2a =，12a =-，1c =-时，原式1=-． 【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把a ，b ，c 的值代入计算即可求出值．【答案】-1.4.已知整式61x -的值是2，2y 的值是4，则22557457x y xy x x y xy x +-+-（）-（）= ．【知识点】整式的化简求值.【数学思想】分类思想. 【解题过程】解：由题意得：12x =，2y =或﹣2， 原式=22557457x y xy x x y xy x +---+ = 2x y ， 当12x =，2y =时，原式=12；当12x =，2y =-时，原式=12-，故答案为12或12- . 【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，求出x 与y 的值，代入计算即可求出值． 【答案】12或12- . 5.一般情况下3636a b a b ++=+不成立，但有些数可以使得它成立，例如：0a b ==．我们称使3636a b a b ++=+成立的一对数a ，b 为“相伴数对”，记为（a ，b ）． （1）若（1，b ）是“相伴数对”，求b 的值；（2）写出一个“相伴数对”（ a ，b ），其中0a ≠，且1a ≠；（3）若（m ，n ）是“相伴数对”，求代数式2742354[]m n m n ----（）的值． 【知识点】化简求值 【解题过程】解：（1）根据题中新定义得：11369b b ++=，解得：4b =-； （2）答案不唯一，如（2，-8），满足28283636--=+； （3）∵3636m n m n ++=+，∴4n m =-，原式= 2746104m n m n --+-， ∵4n m =-，∴原式= 2742410m m m m +---10=-．【思路点拨】（1）利用题中的新定义确定出b 的值即可；（2）类比题中新定义得出一个“相伴数对”即可；（3）利用题中新定义确定出m 与n 关系式，原式去括号合并后代入计算即可求出值．【答案】（1）4b =-；（2）（2，-8），答案不唯一；（3）-10.6.图1是某月的月历.(1)带阴影的方框中的9个数的和与方框中心的数有什么关系？(2)如果将带阴影的方框移至图2的位置，(1)中的关系还成立吗？(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？(5)如图3，如果带阴影的方框里的数是4个，你能得出什么结论？(6)如图4，对于带阴影的框中的4个数，又能得出什么结论？【知识点】整式表示数量关系.【解题过程】解：(1)带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍；(2)将带阴影的方框移至图2的位置，(1)中的关系仍然成立；(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置，(1)中的结论仍然成立，即带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍.证明如下：设带阴影方框的9个数中的中心的数为x ，则()()()()()()()()87611678x x x x x x x x x -+-+-+-+++++++++=9x ，即带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍.(4)成立.(5)观察图可知，11+19=12+18;15+23=22+16.即对角线的两数之和相等.(6)观察图4可知，12+19=18+13. 【思路点拨】此题主要考查了数字变化规律，关键是根据月历上数的特点：左右相邻的两个数相差1，上下相邻的两个数相差7，从而找出阴影框中的九个数的关系，使问题迎刃而解．对于（1），设方框中心的数为x，表示出方框内各数之和，即可得出结论；对于（2），根据图2验证（1）中得出的结论是否成立；对于（3），根据月历中数的排列，总结出规律，相信你不难证明结论，自己试着解题（4）；对于（3）、（4），自己根据图3和图4中的数，自己试着得出结论．【答案】(1)带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍；（2）(1)中的关系仍然成立；（3）带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍.(4)成立；（5）即对角线的两数之和相等；(6)观察图4可知，12+19=18+13.。