2020届高三文科数学精准培优专练：离心率（附解析）例1：已知椭圆2221(0)12x y a a +=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．12 C例2：已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦点， ）A C ．例3：已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在C 上，12||3||PF PF =，且121cos 3F PF ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）三、利用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解e二、构造a ，c 的齐次式求解e一、直接求出a ，c 或求出a 与b 的比值求解e例4：设点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是12PF F △的内心，若1IPF △，2IPF △，12IF F △的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=，则双曲线的离心率为（A ．2 B一、选择题1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A B ．1 C D ．2 对点增分集训2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，则（ ）A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =3．已知点(0,3)到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线的距离为2，则C 的离心率是（ ）A ．32 B ．94 4．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A C ．2 D 5．已知抛物线22(0)y px p =>与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1C 6．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A C ．2 D 7．设1A ，2A ，1B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右、上顶点，O 为坐标原点，D 为线段1OB 的中点，过2A 作直线1A D 的垂线，垂足为H ，若2||3A H =，则C 的离心率为（ ）A ．4 B ．5 C ．2 D ．58．已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O为坐标原点，且22()0OP OF F P +⋅=，12||2||PF PF =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．．二、填空题9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为一边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则该椭圆的离心率为 ．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为 ．11．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 三、解答题12．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与直线:20l ax by +=相切，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，坐标原点为O ．（1）求椭圆的离心率；（2）若3OP OQ ⋅=，求椭圆的方程．13．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．14．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ，已知|2||OA OB =（O 为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上．且OC AP ∥，求椭圆的方程．15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C ．（1）若点C 的坐标为41(,)33，且2BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．例1：【答案】B【解析】由题可得，抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以212416a =+=，所以4a =，所以离心率12c e a ==． 例2：【答案】D【解析】设直线1:()a PF y x c b =+，则与渐近线b y x a =-的交点为2(,)a abM c c-，因为M 是1PF 的中点，利用中点坐标公式，得222(,)a abP c c c -+，因为点P 在双曲线上，所以满足222222222()41b a a b a c b c--=，整理得4225c a c =，解得e = 例3：【答案】A【解析】由双曲线定义及12||3||PF PF =，得1||3PF a =，2||PF a =，由余弦定理得221221041cos 63a c F PF a -∠==，得c e a == 例4：【答案】A【解析】设r 是12IF F ∆的内切圆的半径， 因为1232()S S S -=，∴12121||||||2PF r PF r F F r -=， 离心率 答案两边约去r 得12121||||||2PF PF F F -=， 根据双曲线定义，得12||||2PF PF a -=，12||2F F c =， ∴2a c =⇒离心率为2ce a==． 一、选择题 1．【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以a b =，则c =，双曲线的离心率ce a== 2．【答案】B【解析】由题意知，222114b e a =-=，所以2234a b =．3．【答案】A【解析】∵双曲线22221x y a b-=的渐近线为0bx ay ±=，∴点(0,3)P 到0bx ay ±=的距离2d ==，∴32c a =，∴32c e a ==． 4．【答案】D【解析】由题意知(1,0)F ，:1l x =-，||4AB =，所以24b a =，e == 5．【答案】B【解析】由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此2pc =，不妨设A 是第一象限的点， 由AF x ⊥轴可知A 的横坐标为c ，代入椭圆可得纵坐标为2b a ，即2bAF a=，设椭圆的左焦点设为1F ，则根据抛物线定义可得12AF FF c ==，所以有22b c a=，化简可得222a c ac -=，即2210e e +-=，解得1e =．6．【答案】A【解析】∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=︒，又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=，解得ca=e =7．【答案】C【解析】易得1A OD △与21A HA △相似，所以2112OD A HA D A A =，即1212OD A A A D A H ⋅=⋅，所以223b a ⋅=即222a b =，∴2e =．8．【答案】C【解析】由已知22()0OP OF F P +⋅=，可得22()()0OP OF OP OF +⋅-=， 即2||||OP OF =，又12||||OF OF =，所以1290F PF ∠=︒，又12||2||PF PF =，且11||||2PF PF a+=，则可得22||3PF a =，则14||3PF a =，所以22224()()(2)33a a c +=，所以c a =e =二、填空题9．1【解析】如图，设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是M ，N ，由题设条件知，1290F MF ∠=︒，1||MF c =，2||MF =，∴21)a c =，∴1c e a ===．10．【答案】2【解析】由1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r，又O 是1F ，2F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠， 又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，2e ===．11．【答案】 【解析】设直线2a x c=与x轴的交点为Q ，连接2PF ，∵1PF 的中垂线过点2F ，∴122||||F F PF =，可得2||2PF c =，又∵22||a QF c c =-，且22||||PF QF ≥，∴22a c c c ≥-，即223c a ≥，∴22213c e a =≥，e ≥结合椭圆的离心率(0,1)e ∈1e ≤<，故离心率的取值范围是．三、解答题12．【答案】（1；（2）22184x y +=．【解析】（1）∵12||2F F c =，∴圆222:O x y c +=，∵圆O与:20l ax by +=相切，∴d c ==，∴222a b =，222112b e a =-=，∴2e =．（2）设直线l 与椭圆的交点为11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∵1212OP OQ x x y y ⋅=+，a =，∴直线:0l x =，椭圆222220x y b +-=，联立直线与椭圆222220x x y b ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，消去x得2240y b -+=，∴122y y +=，21214y y b =，221212*********()()3()34x x y y y y y y y y b b +=++=++=，∴2334b =，∴24b =，28a =，∴22184x y +=． 13．【答案】（11；（2）4b =，a ≥，【解析】（1）若2P O F △为等边三角形，则P的坐标为(,)22c c ±，代入方程22221x y a b +=， 可得22223144c c a b+=，解得24e =±1e =．（2）由题意可得12||||2PF PF a +=，因为12PF PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=， 所以221212||||)2||||4PF PF PF PF c +-⋅=(，所以222122||||444PF PF a c b ⋅=-=，所以212||||2PF PF b⋅=，所以122121||||162PF F S PF PF b =⋅==△，解得4b =， 因为21212(||||)4||||PF PF PF PF +≥⋅，即212(2)4||||a PF PF ≥⋅， 即212||||a PF PF ≥⋅，所以232a ≥，所以a ≥ 14．【答案】（1）12；（2）2211612x y +=．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c2b =，又由222a b c =+，消去b得2222)a a c=+，解得12c a =． 所以椭圆的离心率为12． （2）由（1）知，2a c =，b =，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1x c =，2137c x =-． 代入到l 的方程，解得132y c =，2914y c =-． 因为点P 在x 轴上方，所以2()3,P c c ， 由圆C 在直线4x =上，可设(4,)c t ，因为OC AP ∥，且由（1）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =．因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l||3(4)22c +-=，可得2c =， 所以椭圆的方程为2211612x y +=．15．【答案】（1）2212x y +=；（2）e =【解析】设椭圆的焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c（1）∵(0,)B b，∴2BF a ==，又2BFa =∵点41(,)33C 在椭圆上，∴22161991a b+=，解得21b =， 故所求椭圆的方程为2212x y +=．（2）∵(0,)B b ，2(,0)F c 在直线AB 上，∴直线AB 的方程为1x yc b+=， 解方程组222211x yc b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2122221222()a c x a c b c a y a c ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，220x y b=⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为22222222()(,)a c b c a a c a c -++，又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222()(,)a c b a c a c a c -++．∵直线1F C 的斜率为22222222322()0()23()b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB的斜率为b c-，且1FC AB ⊥，∴2223()()13b a c ba c c c-⋅-=-+， 又222b a c =-，整理得225a c =，故215e =，因此5e =。